（20分）设不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 交于不同的两点 $P,Q$，若直线 $PQ$ 的斜率是直线 $OP$ 和 $OQ$ 斜率的等比中项，求 $\triangle POQ$ 的面积 $S$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$
【解析】
设 $PQ:y=kx+b(k\ne 0,b\ne 0)$，代入 $x^{2}+y^{2}=1$，得\[(k^{2}+1)x^{2}+2kbx+b^{2}-1=0.\]由 $\Delta =4k^{2}b^{2}-4(k^{2}+1)(b^{2}-1)>0$，得 $b^{2}<k^{2}+1$．
设 $P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})(x_{1}x_{2}\ne 0)$，则\[x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2kb}{k^{2}+1}, x_{1}+x_{2}=\dfrac{b^{2}-1}{k^{2}+1}.\]从而，\[k_{OP}\cdot k_{OQ}=\dfrac{y_{1}}{x_{1}}\cdot \dfrac{y_{2}}{x_{2}}=\dfrac{(kx_{1}+b)(kx_{2}+b)}{x_{1}x_{2}}=k^{2}+\dfrac{kb(x_{1}+x_{2})+b^{2}}{x_{1}x_{2}}.\]因为，$k_{OP}\cdot k_{OQ}=k^{2}$，所以 $kb(x_{1}+x_{2})+b^{2}=0$．因为 $k\ne 0$，$b\ne 0$，所以 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{k}$．从而，$-\dfrac{2kb}{k^{2}+1}=-\dfrac{b}{k}$．解得 $k=\pm 1$．
又圆心 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $d=\dfrac{|b|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\dfrac{|b|}{\sqrt 2}$，所以\[|PQ|=2\sqrt{1-d^{2}}=2\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{2}}.\]于是，\[\begin{split}S&=\dfrac{1}{2}|PQ|\cdot d\\&=\dfrac{|b|}{\sqrt 2}\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{b^{2}}{2}\left(1-\dfrac{b^{2}}{2}\right)}\\&\leqslant \dfrac{\dfrac{b^{2}}{2}+\left(1-\dfrac{b^{2}}{2}\right)}{2}\\&=\dfrac{1}{2}.\end{split}\]又 $x_{1}x_{2}=\dfrac{b^{2}-1}{k^{2}+1}\ne 0$，所以 $b\ne 1$．因此，上式等号不成立．故 $\triangle POQ$ 面积 $S$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$．
设 $P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})(x_{1}x_{2}\ne 0)$，则\[x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2kb}{k^{2}+1}, x_{1}+x_{2}=\dfrac{b^{2}-1}{k^{2}+1}.\]从而，\[k_{OP}\cdot k_{OQ}=\dfrac{y_{1}}{x_{1}}\cdot \dfrac{y_{2}}{x_{2}}=\dfrac{(kx_{1}+b)(kx_{2}+b)}{x_{1}x_{2}}=k^{2}+\dfrac{kb(x_{1}+x_{2})+b^{2}}{x_{1}x_{2}}.\]因为，$k_{OP}\cdot k_{OQ}=k^{2}$，所以 $kb(x_{1}+x_{2})+b^{2}=0$．因为 $k\ne 0$，$b\ne 0$，所以 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{k}$．从而，$-\dfrac{2kb}{k^{2}+1}=-\dfrac{b}{k}$．解得 $k=\pm 1$．
又圆心 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离为 $d=\dfrac{|b|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\dfrac{|b|}{\sqrt 2}$，所以\[|PQ|=2\sqrt{1-d^{2}}=2\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{2}}.\]于是，\[\begin{split}S&=\dfrac{1}{2}|PQ|\cdot d\\&=\dfrac{|b|}{\sqrt 2}\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{b^{2}}{2}\left(1-\dfrac{b^{2}}{2}\right)}\\&\leqslant \dfrac{\dfrac{b^{2}}{2}+\left(1-\dfrac{b^{2}}{2}\right)}{2}\\&=\dfrac{1}{2}.\end{split}\]又 $x_{1}x_{2}=\dfrac{b^{2}-1}{k^{2}+1}\ne 0$，所以 $b\ne 1$．因此，上式等号不成立．故 $\triangle POQ$ 面积 $S$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$．
答案
解析
备注
