已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其离心率为 $\dfrac45$，两准线之间的距离为 $\dfrac{25}{2}$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
-
求 $a,b$ 的值；标注答案$5,3$解析设 $c$ 为椭圆的半焦距，则$$\dfrac{c}{a}=\dfrac45 , \dfrac{a^2}{c}=\dfrac{25}{4},$$于是有 $a=5,b=3$．
-
设点 $A$ 的坐标为 $(6,0)$，$B$ 为椭圆 $C$ 上的动点，以 $A$ 为直角顶点，作等腰直角三角形 $ABP$（字母 $A,B,P$ 按顺时针方向排列），求点 $P$ 的轨迹方程．标注答案$\dfrac{(x-6)^2}{9}+\dfrac{(y-6)^2}{25}=1$解析
解法1 设点 $B$ 坐标为 $(s,t)$，点 $P$ 坐标为 $(x,y)$，于是有$$\overrightarrow{AB}=(s-6,t) , \overrightarrow{AP}=(x-6,y).$$因为 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AP}$，所以有$$(s-6,t)(x-6,y)=(s-6)(x-6)+ty=0.\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$又因为 $\triangle ABP$ 为等腰直角三角形，所以有 $|AB|=|AP|$，即$$\sqrt{(s-6)^2+t^2}=\sqrt{(x-6)^2+y^2}.\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由 $\text{ ① }$ 式推出$$(s-6)^2=\dfrac{t^2y^2}{(x-6)^2},$$代入 $\text{ ② }$ 式，得 $t^2=(x-6)^2$，从而$$s=6-y,$$代入椭圆方程，即得动点 $P$ 的轨迹方程为$$\dfrac{(x-6)^2}{9}+\dfrac{(y-6)^2}{25}=1.$$解法2 设 $B(x_1,y_1),P(x_2,y_2),|AB|=r$，则以 $A$ 为圆心，$r$ 为半径的圆的参数方程为$$\begin{cases}x=6+r\cos\alpha,\\ y=r\sin\alpha,\end{cases}$$设 $AB$ 与 $x$ 轴正方向夹角为 $\theta$，点 $B$ 的参数表示为$$\begin{cases}x_1=6+r\cos\theta,\\y_1=r\sin\theta.\end{cases}$$点 $P$ 的参数表示为$$\begin{cases}x=6+r\cos(\theta-90^\circ),\\y=r\sin(\theta-90^\circ).\end{cases}$$即 $\begin{cases}x=6+r\sin\theta,\\y=-r\cos\theta,\end{cases}$ 因此可得$$\begin{cases}x_1=6-y,\\x_1=x-6.\end{cases}$$又由于点 $B$ 在椭圆上，可得点 $P$ 的轨迹方程为$$\dfrac{(x-6)^2}{9}+\dfrac{(y-6)^2}{25}=1.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
