$PD$ 中点

以 $BD$ 为 $x$ 轴，$CA$ 为 $y$ 轴，$AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$，过 $O$ 作平面 $ABCD$ 的垂线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系．其中 $A(0,1,0)$，$B(-\sqrt 3,0,0)$，$C(0,-1,0)$，$D(\sqrt 3,0,0)$，$P(0,1,m)$，$E\left(-\dfrac{\sqrt 3}{2},\dfrac{1}{2},0\right)$，$\overrightarrow{PC}=(0,-2,-m)$．设平面 $PAD$ 的法向量 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，$\overrightarrow{AP}=(0,0,m)$，$\overrightarrow{AD}=(\sqrt 3,-1,0)$．所以 $\begin{cases}mz=0,\sqrt 3x-y=0,\end{cases}$ 所以 $\overrightarrow{n}=(\sqrt 3,-1,0)$．所以\[\left|\cos \left\langle \overrightarrow{PC},\overrightarrow{n}\right\rangle \right|=\left|\dfrac{-6}{\sqrt{4+m^{2}}\times \sqrt{12}}\right|=\dfrac{\sqrt 6}{4},\]因此 $m=2$，故 $P(0,1,2)$．
设 $\overrightarrow{PF}=\lambda \overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{PD}=(\sqrt 3,-1,-2)$．则\[\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PF}=(\sqrt 3\lambda ,-\lambda ,2-2\lambda ).\]设平面 $PEC$ 的法向量为 $\overrightarrow{m}=(x,y,z)$，\[\overrightarrow{EP}=\left(\dfrac{\sqrt 3}{2},\dfrac{1}{2},2\right), \overrightarrow{PC}=(0,-2,-2).\]所以\[\begin{cases}\dfrac{\sqrt 3}{2}x+\dfrac{1}{2}y+2z=0,\\ -2y-2z=0,\end{cases}\]故 $\overrightarrow{m}=(-\sqrt 3,-1,1)$．
$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AF}=0$，所以\[-3\lambda +\lambda +2-2\lambda =0,\]因此 $\lambda =\dfrac{1}{2}$．所以 $F$ 为 $PD$ 中点．

$\dfrac{4\sqrt{31}}{31}$

平面 $PEA$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{1}}=(\sqrt 3,-3,0)$，平面 $PED$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{2}}=(\sqrt 3,9,-3)$，\[\cos\left\langle \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\right\rangle =\dfrac{3-27}{\sqrt{12}\times \sqrt{93}}=-\dfrac{4\sqrt{31}}{31}.\]故余弦值为 $\dfrac{4\sqrt{31}}{31}$．