$AB$ 是圆 $\Gamma$ 的一条弦，$O$ 为 $AB$ 上的定点，过点 $O$ 任作圆 $\Gamma$ 的两条弦 $CD$ 和 $EF$，弦 $CF$ 交 $OA$ 于 $I$，弦 $DE$ 交 $OB$ 于 $J$．求证：$\dfrac{1}{|OA|}-\dfrac{1}{|OB|}=\dfrac{1}{|OI}-\dfrac{1}{|OJ|}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
以 $O$ 为原点，弦 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系．设圆 $\Gamma $ 的方程为 $x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0$，$CD$ 的直线方程为 $x-t_{1}y=0$，$EF$ 的直线方程为 $x-t_{2}y=0$．
将 $CD,EF$ 两直线合成的图形视为退化的二次曲线，则其方程为\[(x-t_{1}y)(x-t_{2}y)=0.\]又圆 $\Gamma$ 的图形也是经过 $C,D,EF$ 四个点的二次曲线，故经过 $C,D,E,F$ 四点的二次曲线（除了 $CD,EF$ 两直线合成的图形以外）都可以表示成\[x^{2}+y^{2}+dx+ey+f+\lambda(x-t_{1}y)(x-t_{2}y)=0\cdots\cdots\text{ ① }\]（这里 $\lambda \in\mathbb R$ 是一个待定的系数）．
而直线 $CF$ 和 $DF$ 合成的图形也是经过 $C,D,E,F$ 四点的二次曲线，故存在 $\lambda$ 使得上述方程即为 $CF,DE$ 两直线合成的图形的方程．
设 $I(x_{1},0)$，$J(x_{2},0)$，在 ① 中令 $y=0$，得 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是方程 $x^{2}+dx+f+\lambda x^{2}=0$ 的两个根，故\[x_{1}+x_{2}=-\dfrac{d}{1+\lambda}(1+\lambda \ne 0), x_{1}x_{2}=\dfrac{f}{1+\lambda}(1+\lambda \ne 0).\]由 ② 与 ③，得 $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=-\dfrac{d}{f}$．
又 $x_{1}<0<x_{2}$，$O$ 为原点，故\[\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=-\dfrac{1}{|OI|}+\dfrac{1}{|OJ|},\]即\[\dfrac{1}{|OI|}-\dfrac{1}{|OJ|}=\dfrac{d}{f}(f\ne 0).\]在 ① 中令 $\lambda =0$，$y=0$，便得 $x_{A},x_{B}$ 满足的方程 $x^{2}+dx+f=0(f\ne 0)$，故\[\dfrac{1}{x_{A}}+\dfrac{1}{x_{B}}=-\dfrac{d}{f}.\]又 $x_{A}<0<x_{B}$，$O$ 为原点，则\[\dfrac{1}{|OA|}-\dfrac{1}{|OB|}=\dfrac{d}{f}(f\ne 0),\]故\[\dfrac{1}{|OA|}-\dfrac{1}{|OB|}=\dfrac{1}{|OI|}-\dfrac{1}{|OJ|}.\]
将 $CD,EF$ 两直线合成的图形视为退化的二次曲线，则其方程为\[(x-t_{1}y)(x-t_{2}y)=0.\]又圆 $\Gamma$ 的图形也是经过 $C,D,EF$ 四个点的二次曲线，故经过 $C,D,E,F$ 四点的二次曲线（除了 $CD,EF$ 两直线合成的图形以外）都可以表示成\[x^{2}+y^{2}+dx+ey+f+\lambda(x-t_{1}y)(x-t_{2}y)=0\cdots\cdots\text{ ① }\]（这里 $\lambda \in\mathbb R$ 是一个待定的系数）．
而直线 $CF$ 和 $DF$ 合成的图形也是经过 $C,D,E,F$ 四点的二次曲线，故存在 $\lambda$ 使得上述方程即为 $CF,DE$ 两直线合成的图形的方程．
设 $I(x_{1},0)$，$J(x_{2},0)$，在 ① 中令 $y=0$，得 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是方程 $x^{2}+dx+f+\lambda x^{2}=0$ 的两个根，故\[x_{1}+x_{2}=-\dfrac{d}{1+\lambda}(1+\lambda \ne 0), x_{1}x_{2}=\dfrac{f}{1+\lambda}(1+\lambda \ne 0).\]由 ② 与 ③，得 $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=-\dfrac{d}{f}$．
又 $x_{1}<0<x_{2}$，$O$ 为原点，故\[\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=-\dfrac{1}{|OI|}+\dfrac{1}{|OJ|},\]即\[\dfrac{1}{|OI|}-\dfrac{1}{|OJ|}=\dfrac{d}{f}(f\ne 0).\]在 ① 中令 $\lambda =0$，$y=0$，便得 $x_{A},x_{B}$ 满足的方程 $x^{2}+dx+f=0(f\ne 0)$，故\[\dfrac{1}{x_{A}}+\dfrac{1}{x_{B}}=-\dfrac{d}{f}.\]又 $x_{A}<0<x_{B}$，$O$ 为原点，则\[\dfrac{1}{|OA|}-\dfrac{1}{|OB|}=\dfrac{d}{f}(f\ne 0),\]故\[\dfrac{1}{|OA|}-\dfrac{1}{|OB|}=\dfrac{1}{|OI|}-\dfrac{1}{|OJ|}.\]
答案
解析
备注
