如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，$\triangle A_{i}B_{i}A_{i+1}, i=1,2,\cdots,\cdots$ 为正三角形，且满足 $\overrightarrow{OA_{1}}=\left(-\dfrac{1}{4},0\right)$，$\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}=(2i-1,0)$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
-
求证：点 $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n},\cdots $ 在同一条抛物线 $\Gamma$ 上，并求出该抛物线的方程；标注答案证明略，抛物线方程为 $y^{2}=3x$解析设点 $B_{n}$ 的坐标为 $(x,y)$，则\[\begin{cases}x=-\dfrac{1}{4}+1+3+\cdots+(2n-3)+\dfrac{2n-1}{2}=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^{2},\\ |y|=\dfrac{\sqrt 3}{2}(2n-1).\end{cases}\]消去 $n$，得 $y^{2}=3x$．故点 $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n},\cdots$ 在同一条抛物线 $\Gamma:y^{2}=3x$ 上．
-
过 $(1)$ 中所求抛物线 $\Gamma$ 的焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $AC$ 和 $BD$，求四边形 $ABCD$ 面积的最小值．标注答案$18$解析易知，抛物线 $\Gamma $ 的交点为 $F\left(\dfrac{3}{4},0\right)$，且 $AC$ 和 $BD$ 都不垂直于坐标轴．设直线 $AC$ 的方程为 $x=my+\dfrac{3}{4}$，代入 $y^{2}=3x$，得\[y^{2}-3my-\dfrac{9}{4}=0.\]由韦达定理，得\[y_{A}+y_{C}=3m,y_{A}\cdot y_{C}=-\dfrac{9}{4}.\]所以\[\begin{split}|AC|&=\sqrt{1+m^{2}}|y_{A}-y_{C}|\\&=\sqrt{1+m^{2}}\cdot \sqrt{(y_{A}+y_{C})^{2}-4y_{A}y_{C}}\\&=3(1+m^{2}).\end{split}\]将上式中的 $m$ 用 $-\dfrac{1}{m}$ 代换，得\[|BD|=3\left(1+\dfrac{1}{m^{2}}\right).\]于是\[\begin{split}S_{ABCD}&=\dfrac{1}{2}|AC|\cdot |BD|\\&=\dfrac{9}{2}(1+m^{2})\left(1+\dfrac{1}{m^{2}}\right)\\&\geqslant \dfrac{9}{2}\cdot 2m\cdot \dfrac{2}{m}\\&=18,\end{split}\]当且仅当 $m=\pm 1$ 时取等号，故四边形 $ABCD$ 面积的最小值为 $18$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
