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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24138 59bb975c8b403a0007a89017 高中 解答题 高中习题 类比于直角三角形 $OAB$ 中斜边 $AB$ 上的高 $h$ 满足\[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2},\]在直三棱锥 $P-ABC$（$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=90^\circ$）中，底面 $ABC$ 上的高 $h$ 满足什么结论？试证明之． 2022-04-17 20:57:33
24137 59bb9a7d8b403a0008ec5e61 高中 解答题 高中习题 类比于直角三角形 $OAB$ 中斜边 $AB$ 上的高 $h$ 满足\[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2},\]在直三棱锥 $P-ABC$（$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=90^\circ$）中，底面 $ABC$ 上的高 $h$ 满足什么结论？试证明之． 2022-04-17 20:57:33
24136 59083543060a05000980b003 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 均为正实数，求证：$\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}\geqslant 2$． 2022-04-17 20:56:33
24135 59bbd5208b403a0008ec5eb1 高中 解答题 高中习题 求证：存在无穷多组正整数 $x,y,z$ 使得\[(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx).\] 2022-04-17 20:56:33
24134 59bbd59a8b403a0008ec5f5e 高中 解答题 高中习题 求证：对任意实数 $\alpha,\beta$，存在无穷多个正整数 $n$，使得不等式 $\sin^2n\alpha+\sin^2n\beta<\dfrac{2\pi^2}{n}$ 成立． 2022-04-17 20:55:33
24133 59bbd59a8b403a0008ec5f6c 高中 解答题 高中习题 设非负实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $m=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$ 的最小值． 2022-04-17 20:55:33
24132 59bbd59a8b403a0008ec5f6e 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，求证：\[\left(\dfrac{ab+bc+ca}3\right)^3\leqslant \left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\leqslant \left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}3\right)^3.\] 2022-04-17 20:54:33
24131 59b782c7c527ed0009f1c9d0 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a+b+c=1$，$1<\lambda<\mu$，求 $\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(a+\dfrac{b}{\lambda}+\dfrac{c}{\mu}\right)$ 的取值范围． 2022-04-17 20:54:33
24130 59bcde7e8b403a0007a8909d 高中 解答题 高中习题 化简：\[\dfrac{a^2-a+1}{a^2+a+1}+\dfrac{2a(a-1)^2}{a^4+a^2+1}+\dfrac{2a^2(a^2-1)^2}{a^8+a^4+1}.\] 2022-04-17 20:53:33
24129 59bf98ee8496260008ba42aa 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 内一点 $O$ 满足 $OA=x$，$OB=y$，$OC=z$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值． 2022-04-17 20:52:33
24128 59881dfe5ed01a0008fa5f72 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $E:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $F_{1}(-\sqrt 3,0)$，且过点 $H\left(\sqrt 3,\dfrac{1}{2}\right)$．设椭圆 $E$ 的上下顶点分别为 $A_1,A_2$，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_1,A_2$ 的任一点，直线 $PA_1,PA_2$ 分别交 $x$ 轴于点 $M,N$，若直线 $OT$ 与过点 $M,N$ 的圆 $G$ 相切，切点为 $T$．证明：线段 $OT$ 的长为定值，并求出该定值． 2022-04-17 20:52:33
24127 59881dfe5ed01a0008fa5f73 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=ax$，$g(x)=\ln x$，其中 $a\in\mathbb R$． 2022-04-17 20:52:33
24126 59ba35d398483e0009c7312a 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 是合数，求证：$2^n-1$ 也是合数． 2022-04-17 20:51:33
24125 59ba35d398483e0009c73132 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $a_{n+1}=-\dfrac{(a_n+1)^2}{a_n+2}$，首项 $a_1=-\dfrac 12$，求 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n$． 2022-04-17 20:50:33
24124 59ba35d398483e0009c73138 高中 解答题 高中习题 有 $A,B,C$ 三种粒子，其中 $A$ 有 $20$ 个，$B$ 有 $18$ 个，$C$ 有 $16$ 个．已知其中任何两种不同的粒子各 $1$ 个可以经过操作得到 $2$ 个第三种粒子，问是否存在使得这三种粒子变成同一种粒子的操作方案． 2022-04-17 20:49:33
24123 59ba35d398483e0009c7313a 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+b+c}\geqslant 1$． 2022-04-17 20:49:33
24122 59ba35d398483e0009c7314a 高中 解答题 高中习题 证明： 2022-04-17 20:48:33
24121 59ba35d398483e0009c7314c 高中 解答题 高中习题 一列正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 满足每个数都能整除之后的数，即 $a_n\mid a_{n+1}$，则它们模 $30$ 的余数最多可能有多少种不同的取值？ 2022-04-17 20:48:33
24120 59ba35d398483e0009c7315c 高中 解答题 高中习题 已知 $(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2\cdot b$，$a,b\in\mathbb N^*$，求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 20:47:33
24119 59ba40f098483e0009c732df 高中 解答题 高中习题 已知 $(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2\cdot b$，$a,b\in\mathbb N^*$，求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 20:47:33
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