$\triangle ABC$ 中，$\sin \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{\sqrt 3}{3}$，$AB=2$，$D$ 点在线段 $AC$ 上，且 $AD=2DC$，$BD=\dfrac{4\sqrt 3}{3}$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求 $BC$ 长；标注答案$BC=3$解析因为 $\sin\dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{\sqrt 3}{3}$，所以\[\cos B=1-2\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.\]在 $\triangle ABC$ 中，设 $BC=a$，$AC=3b$，则由余弦定理可得\[9b^{2}=a^{2}+4-\dfrac{4}{3}a.\cdots\cdots\text{ ① }\]在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle DBC$ 中，由余弦定理可得\[\cos\angle ADB=\dfrac{4b^{2}+\dfrac{16}{3}-4}{\dfrac{16\sqrt 3}{3}b}, \cos\angle BDC=\dfrac{b^{2}+\dfrac{16}{3}-a^{2}}{\dfrac{8\sqrt 3}{3}b}.\]因为 $\cos\angle ADB=-\cos \angle BDC$，所以\[\dfrac{4b^{2}+\dfrac{16}{3}-4}{\dfrac{16\sqrt 3}{3}b}=-\dfrac{b^{2}+\dfrac{16}{3}-a^{2}}{\dfrac{8\sqrt 3}{3}b},\]所以\[3b^{2}-a^{2}=-6.\]由 ①、② 可得 $a=3$，$b=1$，即 $BC=3$．
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求 $\triangle DBC$ 面积．标注答案$\dfrac{2\sqrt 2}{3}$解析由 $(1)$ 得 $\triangle ABC$ 的面积为\[\dfrac{1}{2}\times 2\times 3\times \dfrac{2\sqrt 2}{3}=2\sqrt 2,\]所以 $S_{\triangle DBC}=\dfrac{2\sqrt 2}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
