（20分）如图，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C$ 是半圆弧的中点，$P$ 是 $AB$ 延长线上一点，$PD$ 与半圆 $O$ 相切于点 $D$，$\angle APD$ 的平分线分别交 $C,BC$ 于点 $E,F$．求证：线段 $AE,BF,EF$ 可以组成一个直角三角形．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法1 如图1，设直线 $FE$ 与半圆 $O$ 交于 $M,N$ 两点，连接 $DE,DF,DB$，则\[\angle APM\overset{m}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AM}-\widehat{BN}\right), \angle DPM\overset{m}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MC}+\widehat{CD}-\widehat{ND}\right).\]因为 $\angle APM=\angle DPM$，所以 $\widehat{AM}-\widehat{BN}=\widehat{MC}+\widehat {CD}-\widehat{ND}$．又\[\widehat {AM}+\widehat {MC}=\widehat{CD}+\widehat{CN}+\widehat{NB},\]所以 $\widehat{MC}=\widehat{ND}$．从而，$\angle DPM \overset{m}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MC}+\widehat{CD}-\widehat{ND}\right)=\dfrac{1}{2}\widehat{CD} =\angle CBD$．
所以 $P,D,F,B$ 四点共圆．
同理，$P,D,E,A$ 四点共圆．又 $PE$ 平分 $\angle APD$，所以 $DF=BF$，$DE=AF$．
因为 $\angle PDE=180^{\circ}-\angle PAE=135^{\circ}$，$\angle PDF=\angle ABF=45^{\circ}$，所以 $\angle EDF=\angle PDE-\angle PDF=90^{\circ}$．
故 $AE^{2}+BF^{2}=DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}$，即线段 $AE,BF,EF$ 可以组成一个直角三角形．
所以 $P,D,F,B$ 四点共圆．
同理，$P,D,E,A$ 四点共圆．又 $PE$ 平分 $\angle APD$，所以 $DF=BF$，$DE=AF$．
因为 $\angle PDE=180^{\circ}-\angle PAE=135^{\circ}$，$\angle PDF=\angle ABF=45^{\circ}$，所以 $\angle EDF=\angle PDE-\angle PDF=90^{\circ}$．
故 $AE^{2}+BF^{2}=DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}$，即线段 $AE,BF,EF$ 可以组成一个直角三角形．
答案
解析
备注
