如图，$AP,AQ$ 为 $\odot O$ 的切线，$P,Q$ 是切点，$M$ 为线段 $PQ$ 的中点，$AKL$ 为一条割线，直线 $l \parallel AQ, l$ 与 $QK,QP,QL$ 分别交于 $X,Y,Z$ 三点．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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求证：$PM^2=KM \cdot ML$；标注答案略解析易知 $A,M,O$ 共线，连结 $AMO,OK,OP,OL,PK,PL$，在 ${\rm Rt}\triangle APO$ 中，$AP^2=AM \cdot AO$，又\[AP^2=AK \cdot AL,\]所以\[AM \cdot AO= AK\cdot AL,\]所以 $K,M,O,L$ 四点共圆，所以\[\angle AMK=\angle KLO=\angle LKO =\angle LMO,\]所以\[\angle KMP =\angle PML =\dfrac 1 2\angle KOL=\angle KQL,\]又\[\angle KPM = \angle KLQ, \angle MPL = \angle QKL,\]所以\[\triangle KMP \backsim \triangle KQL, \triangle PML \backsim \triangle KQL,\]故 $\triangle KMP \backsim \triangle PML$，所以 $\dfrac{KM}{PM}=\dfrac{MP}{ML}$，所以 $PM^2=KM \cdot ML$．
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求证：$XY=YZ$．标注答案略解析因为 $\triangle KMP \backsim \triangle PML$，所以$$\angle KPM =\angle PLM,$$又 $\angle KPM =\angle KLQ$，所以$$\angle PLK=\angle MLQ,$$又 $\angle PKL = \angle MQL$，所以 $\triangle PLK \backsim \triangle MLQ$，所以 $\dfrac{PK}{MQ}=\dfrac{LK}{LQ}$，故\[PK \cdot LQ = LK \cdot MQ,\]同理，$\triangle PLK \backsim \triangle MQK$，所以 $\dfrac{PL}{MQ}=\dfrac{LK}{QK}$，所以\[PL \cdot QK = LK \cdot MQ,\]因此\[PK \cdot LQ = PL \cdot QK,\]即\[\dfrac{PK}{QK}=\dfrac{PL}{LQ}.\qquad \qquad \qquad \text{ ① }\]又 $\angle YXQ=\angle AQX =\angle KPQ$，所以 $\triangle QXY \backsim \triangle QPK$，故 $\dfrac{XY}{PK}=\dfrac{QY}{QK}$，所以\[XY=\dfrac{QY \cdot PK}{QK}.\qquad \qquad \qquad \text{ ② }\]同理，\[YZ=\dfrac{QY \cdot PL}{LQ}.\qquad \qquad \qquad \text{ ③ }\]由\text{ ① }、\text{ ② }、\text{ ③ }得 $XY=YZ$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
