如图，曲线 $C_{1}$ 是以原点 $O$ 为中心，$F_{1},F_{2}$ 为焦点的椭圆的一部分，曲线 $C_{2}$ 是以 $O$ 为顶点，$F_{2}(1,0)$ 为焦点的抛物线的一部分，$A\left(\dfrac{3}{2},\sqrt 6\right)$ 是曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 所在的椭圆和抛物线的方程；标注答案抛物线方程为 $y^{2}=4x$，椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{8}=1$解析设抛物线方程：$y^{2}=2px$，由 $F_{2}(1,0)$ 为焦点得\[p=\dfrac{1}{2},\]所以 $y^{2}=4x$．设椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}-a}=1$，代入 $\left(\dfrac{3}{2},\sqrt 6\right)$，解得 $a^{2}=9$，所以椭圆方程为\[\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{8}=1.\]
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过 $F_{2}$ 作一条与 $x$ 轴不垂直的直线，分别于曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 依次交于 $B,C,D,E$ 四点．
① 求 $\triangle CDF_{1}$ 面积的取值范围．
② 若 $G$ 为 $CD$ 中点，$H$ 为 $BE$ 中点，问 $\dfrac{|BE|\cdot |GF_{2}|}{|CD|\cdot |HF_{2}|}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．标注答案$\triangle CDF_{1}$ 的面积的取值范围是 $\left(4,\dfrac{5\sqrt 6}{3}\right)$；是定值，定值为 $3$解析① 设直线方程为 $x=my+1$，则 $m\in\left(-\dfrac{\sqrt 6}{12},0\right)\cup \left(0,\dfrac{\sqrt 6}{12}\right)$．联立 $\begin{cases}y^{2}=4x,\\ x=my+1,\end{cases}$ 得\[y^{2}-4my-4=0,y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-4.\]设 $C(x_{1},y_{1})$，$D(x_{2},y_{2})$．\[\begin{split}S_{\triangle F_{1}CD}&=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot |y_{1}-y_{2}|\\&=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}\\&=4\sqrt{m^{2}+1},m^{2}\in\left(0,\dfrac{1}{24}\right).\end{split}\]所以 $S_{\triangle F_{1}CD}\in\left(4,\dfrac{5\sqrt 6}{3}\right)$．
② 设 $B(x_{3},y_{3})$，$E(x_{4},y_{4})$，联立 $\begin{cases}\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{8}=1,\\ x=my+1,\end{cases}$ 得\[(8m^{2}+9)y^{2}+16my-64=0, y_{1}+y_{2}=-\dfrac{16m}{8m^{2}+9}, y_{3}y_{4}=-\dfrac{64}{8m^{2}+9},\]于是\[|y_{3}-y_{4}|=\sqrt{\dfrac{256\times 9(m^{2}+1)}{(8m^{2}+9)^{2}}}=\dfrac{48\sqrt{m^{2}+1}}{8m^{2}+9},\]所以\[\begin{split}\dfrac{|BE|\cdot |GF_{2}|}{|CD|\cdot |HF_{2}}&=\dfrac{|y_{3}-y_{4}|}{|y_{1}-y_{2}}\cdot \dfrac{|y_{1}+y_{2}|}{|y_{3}+y_{4}|}\\&=\dfrac{48\sqrt{m^{2}+1}}{4\sqrt{m^{2}+1}(8m^{2}+9)}\cdot \dfrac{(8m^{2}+9)\times 4|m|}{16|m|}\\&=3.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
