已知数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_2=5$，$a_8=23$．数列 $\{b_n\}$ 是各项均为整数的等比数列，$b_1=2$，且对任意正整数 $s,t$ 都有 $b_{s+t}=b_s\cdot b_t$ 成立．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=3n-1,b_n=2^n$解析设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则$$d=\dfrac{a_8-a_2}{8-2}=3 , a_1=a_2-d=2,$$所以 $a_n=3n-1$．
设 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$，由条件 $b_{s+t}=b_s\cdot b_t$ 知$$2\cdot q^{s+t-1}=(2\cdot q^{s-1})\cdot(2\cdot q^{t-1}),$$因此 $q=2,b_n=2^n$． -
求证：数列 $\{b_n\}$ 中有无数多项在数列 $\{a_n\}$ 中．标注答案略解析假设 $b_k$ 在数列 $\{a_n\}$ 中，则存在正整数 $n$，使得 $2^k=3n-1$，即 $n=\dfrac{2^k+1}{3}$．
由于当 $k$ 为正奇数时，$$2^k+1=(3-1)^k+1=\mathrm{C}_k^03^k+\mathrm{C}_k^13^{k-1}(-1)+\cdots+\mathrm{C}_k^{k-1}3^1(-1)^{k-1},$$为 $3$ 的倍数．
所以，当 $k$ 为正奇数时，方程 $n=\dfrac{2^k+1}{3}$ 有正整数解．
因此，数列 $\{b_n\}$ 中的奇数项都在数列 $\{a_n\}$ 中，从而，数列 $\{b_n\}$ 中有无数多项在 $\{a_n\}$ 中．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
