略

当 $n=1,2,3,4$ 时，由题意可得，$$a_1=2 , a_2=5 , a_3=10 , a_4=17.$$此时，区间 $[2,5]$ 中包含 $2^2$，区间 $[5,10]$ 中包含 $3^2$，区间 $[10,17]$ 中包含 $4^2$．

略

设 $p_n$ 为第 $n$ 个质数，区间 $[a_n,a_{n+1}]$ 中包含的完全平方数为 $m^2$，于是$$\sqrt {a_n}\leqslant m \leqslant \sqrt {a_{n+1}}, m \in \mathbb Z_+.$$此时，当区间 $[\sqrt {a_n}, \sqrt {a_{n+1}}]$ 的长度不小于 $1$ 时，$[\sqrt {a_n}, \sqrt {a_{n+1}}]$ 中必包含一个整数．命题转化为证明当 $n \geqslant 5$ 时，$$\sqrt {a_{n+1}}- \sqrt {a_n} \geqslant 1. \quad\cdots\cdots \text{ ① } $$将 ① 转化为等价形式$$ a_{n+1} \geqslant {a_n}+2\sqrt {a_n}+1 . \quad\cdots\cdots \text{ ② } $$由题意，得$$p_{n+1}=a_{n+1}-a_n,$$故 ② 转化为等价形式$$ p_{n+1} \geqslant 1+2\sqrt {a_n} . \quad\cdots\cdots \text{ ③ } $$进一步等价于$$(p_{n+1}-1)^2 \geqslant 4a_n=4(p_1+p_2+\cdots+p_n). \quad\cdots\cdots \text{ ④ } $$令$$q_n=(p_{n}-1)^2 -4(p_1+p_2+\cdots+p_{n-1}),$$则$$q_{n+1}-q_n=(p_{n+1}-p_n)(p_{n+1}+p_n-2)-4p_n.$$当 $n \geqslant 2$ 时，$p_n$ 为奇数，从而$$p_{n+1}-p_n\geqslant 2,$$因此$$ q_{n+1}-q_n \geqslant 2(p_{n+1}+p_n-2)-4p_n=2(p_{n+1}-p_n-2)\geqslant 0,$$即 $\{q_n\}$ 为递增数列．
又由 $q_5=32>0$，从而当 $n \geqslant 5$ 时，$q_n\geqslant q_5 >0$，故 ④ 成立．
由于各步变形均是等价变形，所以原命题成立．