设 $x_i \geqslant 0$，$i=1,2,\cdots,n$，约定 $x_{n+1}=x_1$，证明：$$\sum \limits_{k=1}^{n}\sqrt {\dfrac {1}{(x_k+1)^2}+\dfrac {x_{k+1}^2}{(x_{k+1}+1)^2}}\geqslant \dfrac {n}{\sqrt 2}.$$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x_i\geqslant 0$，$i=1,2,\cdots,n$，令$$x_k=\tan ^2\theta_k , \theta_k \in \left[0,\dfrac {\pi}{2}\right) , k=1,2,\cdots,n,$$约定 $\theta_{n+1}=\theta_1$，则\[\begin{split}\sqrt {\dfrac {1}{(x_k+1)^2}+\dfrac {x_{k+1}^2}{(x_{k+1}+1)^2}}&=\sqrt {\cos ^4\theta_k+\sin ^4\theta_{k+1}}\\ &\geqslant \sqrt {\dfrac {(\cos ^2\theta_k+\sin ^2\theta_{k+1})^2}{2}}\\&=\dfrac {\cos ^2\theta_k+\sin ^2\theta_{k+1}}{\sqrt 2},\end{split}\]所以$$\sum \limits_{k=1}^{n}\sqrt {\dfrac {1}{(x_k+1)^2}+\dfrac {x_{k+1}^2}{(x_{k+1}+1)^2}}\geqslant \sum \limits_{k=1}^{n}\dfrac {\cos ^2\theta_k+\sin ^2\theta_{k+1}}{\sqrt 2}=\dfrac {n}{\sqrt 2}.$$
答案
解析
备注
