已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $\sqrt{a_na_{n+1}+a_na_{n+2}}=4\sqrt{a_na_{n+1}+a_{n+1}^2}+3\sqrt{a_na_{n+1}^2}$，且 $a_1=1,a_2=8$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
【答案】
$\displaystyle a_n=\begin{cases}1,&n=1,\\ \prod\limits_{k=1}^{n-1}{[(4^{k-1}-1)^2-1]},&n\geqslant2.\end{cases}$
【解析】
在已知等式两边同时除以 $\sqrt{a_na_{n+1}}$，得$$\sqrt{1+\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}=4\sqrt{1+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}+3,$$所以$$\sqrt{1+\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}+1=4\left(\sqrt{1+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}+1\right).$$令 $b_n=\sqrt{1+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}+1$，则$$b_1=4 , b_{n+1}=4b_n,$$即数列 $\{b_n\}$ 是以 $b_1=4$ 为首项，$4$ 为公比的等比数列，所以$$b_n=b_1\cdot 4^{n-1}=4^n,$$即 $\sqrt{1+\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}+1=4^n$，故$$a_{n+1}=[(4^n-1)^2-1]a_n,$$于是，当 $n>1$ 时，\[\begin{split}a_n&=[(4^{n-1}-1)^2-1]a_{n-1}\\&=[(4^{n-1}-1)^2-1]\cdot[(4^{n-2}-1)^2-1]a_{n-2}\\&=\cdots\\&=\prod\limits_{k=1}^{n-1}{[(4^{k-1}-1)^2-1]a_1}\\&=\prod\limits_{k=1}^{n-1}{[(4^{k-1}-1)^2-1]}.\end{split}\]因此，$$a_n=\begin{cases}1,&n=1,\\ \prod\limits_{k=1}^{n-1}{[(4^{k-1}-1)^2-1]},&n\geqslant2.\end{cases}$$
答案
解析
备注
