题目 求证： 问题1 方程 $x^3-x -1=0$ 恰有一个实根 $\omega$，并且 $\omega$ 是无理数； 答案1 略 解析1 设 $f(x)=x^3-x-1$，则$$f'(x)=3x^2-1,$$所以 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac {1}{\sqrt 3}\right)$ 单调递增，在 $\left(-\dfrac {1}{\sqrt 3},\dfrac {1}{\sqrt 3}\right)$ 单调递减，在 $\left(\dfrac {1}{\sqrt 3},+\infty\right)$ 单调递增．<br/>因此 $f(x)$ 在 $x=-\dfrac {1}{\sqrt 3}$ 处取得极大值$$f\left(-\dfrac {1}{\sqrt 3}\right)=\dfrac {2}{3\sqrt 3}-1<0,$$在 $x=\dfrac {1}{\sqrt 3}$ 处取得极小值$$f\left(\dfrac {1}{\sqrt 3}\right)=-\dfrac {2}{3\sqrt 3}-1<0.$$再由$$f(1)=-1<0 , f(2)=5>0 $$知，方程 $ f(x)=0 $ 有唯一实根 $ \omega \in(1,2)$．<br/>假设 $\omega=\dfrac mn$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，则$$m^3=n^2(m+n),$$故$$n^2|m^3,$$因此 $n=1$，即 $ \omega $ 是整数，这与 $ \omega \in(1,2)$ 矛盾．<br/>因此，$ \omega $ 是无理数． 备注1 问题2 $\omega$ 不是任何整系数的二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a,b,c\in \mathbb Z,a\neq 0$）的根． 答案2 略 解析2 假设 $\omega $ 还满足 $a\omega ^2+b\omega +c=0(a,b,c \in \mathbb Z,a\neq 0)$，则有$$\begin{cases}a\omega ^2+b\omega +c=0,\quad\cdots\cdots \text { ① }\\ \omega^3-\omega-1=0.\quad\cdots\cdots \text { ② } \end{cases}$$将 ① 式乘 $\omega$ 减去 ② 式乘 $a$ 得$$b\omega^2+(a+c)\omega+a=0,\quad\cdots\cdots \text { ③ }$$将 ③ 式乘 $a$ 减去 ① 式乘 $b$ 得$$(a^2+ac-b^2)\omega +(a^2-bc)=0.$$由于 $\omega$ 为无理数，故$$\begin{cases}a^2+ac-b^2=0,\\ a^2-bc=0.\end{cases}$$由 $a\neq 0$ 知 $bc\neq 0$，把 $b=\dfrac {a^2}{c}$ 代入 $a^2+ac-b^2=0$，得$$\dfrac {a^3}{c^3}=\dfrac {a}{c}+1,$$从而 $\omega=\dfrac {a}{c}$，这与 $\omega$ 是无理数矛盾． 备注2