数列 $\{a_{n}\}$ 满足\[a_{1}=1, a_{n+1}=\dfrac{(n+1)\cdot a_{n}^{2}}{2a_{n}^{2}+4na_{n}+n^{2}},\]求 $\{a_{n}\}$ 的通项．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$a_{n}=\dfrac{n}{3^{2^{n-1}}-2},n\geqslant 1$
【解析】
因为 $a_{n+1}=\dfrac{(n+1)\cdot a_{n}^{2}}{2a_{n}^{2}+4na_{n}+n^{2}}$，所以\[\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{\left(\dfrac{a_{n}}{n}\right)^{2}}{2\left(\dfrac{a_{n}}{n}\right)^{2}+4\left(\dfrac{a_{n}}{n}\right)+1},\]即$$\dfrac{n+1}{a_{n+1}}+2=\left(\dfrac{n}{a_{n}}+2\right)^{2}.$$令 $\dfrac{n}{a_{n}}+2=b_{n}$，所以$$b_{n+1}=b_{n}^{2},$$故 $b_{n}=b_{1}^{2^{n-1}}$．
又 $a_{1}=1$，所以$$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}+2=3,$$于是 $b_{n}=3^{2^{n-1}}$，从而$$\dfrac{n}{a_{n}}+2=3^{2^{n-1}}.$$因此 $a_{n}=\dfrac{n}{3^{2^{n-1}}-2},n\geqslant 1$．
又 $a_{1}=1$，所以$$b_{1}=\dfrac{1}{a_{1}}+2=3,$$于是 $b_{n}=3^{2^{n-1}}$，从而$$\dfrac{n}{a_{n}}+2=3^{2^{n-1}}.$$因此 $a_{n}=\dfrac{n}{3^{2^{n-1}}-2},n\geqslant 1$．
答案
解析
备注
