$4$

设椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），由题意得$$\begin{cases} a^2- b^2=6,\\\dfrac {4}{a^2}-\dfrac {1}{b^2}= 1, \end{cases}$$解得$$\begin{cases}a^2=8,\\b^2=2, \end{cases}$$所以椭圆方程为 $\dfrac {x^2}{8}+\dfrac {y^2}{ 2}=1$．
因为直线 $l$ 平行于 $OM$，设直线 $l$ 的方程为 $y=\dfrac 12x+m$，由$$\begin{cases}y=\dfrac 12x+m,\\ \dfrac {x^2}{8}+\dfrac {y^2}{2}=1, \end{cases}$$得$$x^2+2mx+2m^2-4=0.$$设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=-2m,\quad x_1x_2=2m^2-4.$$因为直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$，$B$，所以$$\Delta=(2m)^2-4(2m^2-4)>0,$$解得$$m \in (-2,2),\land m \neq 0.$$因此\[\begin{split}S_{\triangle OAB}&=\dfrac 12|m|\cdot |x_1-x_2|\\&=\dfrac 12|m|\cdot \sqrt {(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\&=\sqrt {m^2(4-m^2)} \leqslant 4,\end{split}\]当且仅当 $m^2=4-m^2$，即 $m=\pm \sqrt 2$ 时等号成立．
故 $\triangle OAB$ 面积的最大值为 $4$．

略

设直线 $MA$，$MB$ 的斜率分别为 $k_1$，$k_2$．
因为 $M(2,1)$，所以$$k_1=\dfrac {y_1-1}{x_1-2}, k_2=\dfrac {y_2-1}{x_2-2},$$只需证明 $k_1+k_2=0$ 即可．
因为\[\begin{split}k_1+k_2&=\dfrac {y_1-1}{x_1-2}+\dfrac {y_2-1}{x_2-2}\\&=\dfrac {(y_1-1)(x_2-2)+(y_2-1)(x_1-2)}{(x_1-2)(x_2-2)}\\&=\dfrac {x_1x_2+(m-2)(x_1+x_2)-4(m-1)}{(x_1-2)(x_2-2)}\\&=\dfrac {2m^2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)}{(x_1-2)(x_2-2)}=0,\end{split}\]所以直线 $MA$、$MB$ 与 $x$ 轴围成一个等腰三角形．