略

设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), M(x_0, y_0)$．
因为直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴，所以$$x_1 \ne x_2, y_1 \ne y_2, x_1 + x_2 \ne 0, y_1 + y_2 \ne 0,$$于是$$k_l = \dfrac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} , k_{OM}= \dfrac{y_0}{x_0}.$$因为 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，所以\[x_1 + x_2 = 2x_0, y_1+ y_2 = 2y_0,\]又\[\dfrac{y_1^2}{a^2} +\dfrac{x_1^2}{b^2}=1, \dfrac{y_2^2}{a^2} + \dfrac{x_2^2}{b^2}=1, \]两式相减得，\[\dfrac 1 {a^2}(y_1 + y_2) + \dfrac 1 {b^2}(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 0,\]整理得\[\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot \dfrac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} =-\dfrac {a^2} {b^2},\]所以\[\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot \dfrac{2y_0}{2x_0} =-\dfrac {a^2} {b^2},\]即\[k_l \cdot k_{OM} = -\dfrac {a^2} {b^2},\]因此直线 $OM$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值 $-\dfrac {a^2} {b^2}$．

略

四边形 $OAPB$ 为平行四边形当且仅当线段 $AB$ 与线段 $OP$ 互相平分．
设 $M(x_0, y_0)$，则 $P(2x_0, 2y_0)$，因为点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，所以\[\dfrac{y_0^2}{a^2} + \dfrac{x_0^2}{b^2} = \dfrac 1 4,\]即\[{a^2}{x_0^2}+{b^2}{y_0^2}=\dfrac{a^2b^2}4.\cdots \cdots \cdots\text{ ① }\]因为\[k_l = \dfrac{a-y_0}{b-x_0}, k_{OM} = \dfrac{y_0}{x_0},\]由 $(1)$ 的结论可知 $k_l \cdot k_{OM} = -\dfrac{a^2}{b^2}$，所以\[\dfrac{a-y_0}{b-x_0} \cdot \dfrac{y_0}{x_0} = -\dfrac{a^2}{b^2},\]整理可得\[{a^2}{x_0^2}+{b^2}{y_0^2}=a^2bx_0+ab^2y_0 = \dfrac{a^2b^2}4,\]即\[ax_0 + by_0 = \dfrac{ab}{4}.\cdots \cdots \cdots \text{ ② }\]由 ①② 可得，\[16(ax_0 + by_0)^2 = 4({a^2}{x_0^2}+{b^2}{y_0^2}),\]整理可得\[3{a^2}{x_0^2}+8abx_0y_0 + 3{b^2}{y_0^2} = 0,\]所以\[3b^2 \left(\dfrac{y_0}{x_0}\right)^2 + 8ab \left(\dfrac{y_0}{x_0}\right) + 3a^2 = 0,\]解得\[\dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{-8ab \pm\sqrt{64a^2b^2 - 36a^2b^2}}{6b^2} = \dfrac{-4a \pm \sqrt 7 a}{3b},\]即 $k_{OM} = \dfrac{-4a \pm \sqrt 7 a}{3b}$，故\[k_l = \dfrac{-\dfrac{a^2}{b^2}}{k_{OM}} = \dfrac{-\dfrac{a^2}{b^2}}{\dfrac{-4a \pm {\sqrt 7} a}{3b}}=\dfrac{4 \pm \sqrt 7}{3} \cdot \dfrac a b.\]