已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，经过点 $P\left(3,\dfrac{16}{5}\right)$，离心率为 $\dfrac{3}{5}$．过椭圆 $C$ 的右焦点作斜率为 $k$ 的直线 $l$，交椭圆于 $A,B$ 两点，记 $PA,PB$ 的斜率为 $k_{1},k_{2}$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
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求椭圆的标准方程；标注答案$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$解析由已知得，$$\begin{cases}\dfrac{9}{a^{2}}+\dfrac{256}{25b^{2}}+1,\\\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{9}{25},\end{cases}$$解得 $a^{2}=25$，$b^{2}=16$．
因此椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{15}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$． -
若 $k_{1}+k_{2}=0$，求实数 $k$．标注答案$\dfrac{3}{5}$解析右焦点坐标为 $(3,0)$．
情形一 当 $|k|>0$ 时，直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-3)$．
联立方程组$$\begin{cases}y=k(x-3),\\ \dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1,\end{cases}$$得\[(16+25k^{2})x^{2}-150k^{2}x+225k^{2}-400=0.\]设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则\[x_{1}+x_{2}=\dfrac{150k^{2}}{16+25k^{2}}, x_{1}x_{2}=\dfrac{225k^{2}-400}{16+25k^{2}}.\]又 $k_{1}=\dfrac{y_{1}-\dfrac{16}{5}}{x_{1}-3}$，$k_{2}=\dfrac{y_{2}-\dfrac{16}{5}}{x_{2}-3}$，所以\[k_{1}+k_{2}=\dfrac{1536-2560k}{5(16+25k^{2})(x_{1}-3)(x_{2}-3)}=0,\]解得 $k=\dfrac{3}{5}$．情形二 当斜率 $k=0$ 时，$$k_{1}=\dfrac{2}{5},k_{2}=-\dfrac{8}{5},$$则\[k_{1}+k_{2}=-\dfrac{6}{5}\ne 0,\]不合题意．情形三 当斜率 $k$ 不存在时，此时斜率 $k_{1},k_{2}$ 均不存在，不合题意．
因此 $k=\dfrac{3}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
