已知抛物线 $C:y^{2}=4x$，以 $M(1,2)$ 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 $MAB$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
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求证：直线 $AB$ 过定点；标注答案略解析设直线 $AB$ 的方程为 $x=my+n$，$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$．
由 $\begin{cases}x=my+n,\\ y^{2}=4x,\end{cases}$ 得$$y^{2}-4my-4n=0,$$所以\[y_{1}+y_{2}=4m, y_{1}y_{2}=-4n.\]因为 $\angle AMB=90^{\circ}$，所以 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$，即\[(x_{1}-1,y_{1}-2)\cdot (x_{2}-1,y_{2}-2)=0,\]所以\[(my_{1}+n-1)(my_{2}+n-1)+(y_{1}-2)(y_{2}-2)=0,\]即\[(m^{2}+1)y_{1}y_{2}+(mn-m-2)(y_{1}+y_{2})+(n-1)^{2}+4=0,\]于是有\[(m^{2}+1)\cdot (-4n)+(mn-m-2)\cdot 4m+n^{2}-2n+5=0,\]整理得\[(n-3)^{2}=4(m+1)^{2},\]所以 $n-3=2(m+1)$ 或 $n-3=-2(m+1)$．
当 $n-3=2(m+1)$，即 $n=2m+5$ 时直线 $AB$ 的方程为\[x=m(y+2)+5,\]过定点 $P(5,-2)$．
当 $n-3=-2(m+1)$，即 $n=-2m+1$ 时直线 $AB$ 的方程为\[x=m(y-2)+1,\]过点 $M(1,2)$，不合题意．
因此直线 $AB$ 过定点 $P(5,-2)$． -
过点 $M$ 作 $AB$ 的垂线交 $AB$ 于点 $N$，求点 $N$ 的轨迹方程．标注答案$(x-3)^{2}+y^{2}=8(x\ne 1)$解析由第 $(1)$ 小题知，点 $N$ 的轨迹是以 $PM$ 为直径的圆但要除去点 $(1,\pm 2)$，因此其方程为$$(x-3)^{2}+y^{2}=8(x\ne 1).$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
