如图：四棱锥 $P-ABCD$，$PA \perp \text{平面}ABCD$，且 $PA=4$，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$\angle CDA=\angle BAD=90^{\circ}$，$AB=2$，$CD=1$，$AD=\sqrt 2$，$M$，$N$ 分别为 $PD$，$PB$ 的中点，平面 $MCN$ 与 $PA$ 交点为 $Q$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求 $PQ$ 的长度；标注答案$PQ=1$解析取 $AP$ 的中点 $E$，连结 $ED$，则 $ED \parallel CN$，再取 $EP$ 的中点即为所求点 $Q$．
因为 $MQ \parallel ED$，故$$MQ \parallel CN,$$所以 $M$，$N$，$C$，$Q$ 四点共面．
因此平面 $MCN$ 与 $AP$ 的交点 $Q$ 即为 $AP$ 的四等分点，所以 $PQ=1$． -
求截面 $MCN$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小；标注答案$\dfrac {\pi}{3}$解析易证$$\text{平面}MEN \parallel \text{底面}ABCD,$$所以截面 $MCN$ 与平面 $MEN$ 所成的二面角即为截面 $MCN$ 与底面 $ABCD$ 所成的二面角．
因为 $PA \perp \text{底面}ABCD$，所以$$PA \perp \text{平面}MEN.$$过 $E$ 作 $EF \perp MN$，垂足为 $F$，连结 $QF$，由三垂线定理可得$$QF \perp MN,$$所以 $\angle QFE$ 为截面 $MCN$ 与平面 $MEN$ 所成二面角的平面角．
在直角三角形 $MEN$ 中，$$ME=\dfrac {\sqrt 2}{2} , EN=1 , MN=\dfrac {\sqrt 6}{2},$$则 $EF=\dfrac {\sqrt 3}{3}$，所以$$\tan \angle QFE=\sqrt 3,$$故 $\angle QFE=\dfrac {\pi}{3}$． -
求点 $A$ 到平面 $MCN$ 的距离．标注答案$1$解析因为 $EP$ 的中点为点 $Q$，且平面 $MCN$ 与 $PA$ 交于点 $Q$，所以点 $A$ 到平面 $MCN$ 的距离即为点 $E$ 到平面 $MCN$ 的距离的 $2$ 倍．
由 $(2)$ 知$$MN\perp \text{平面}QEF, \text{平面}MCNQ \perp \text{平面}QEF$$且 $\text{平面}MCNQ$ 与 $\text{平面}QEF$ 的交线为 $QF$．过 $E$ 作 $EH\perp QF$，垂足为 $H$，则 $EH \perp \text{平面}QEF $，$EH$ 为点 $E$ 到平面 $MCN$ 的距离．
在直角三角形 $EQF$ 中，$$EF=\dfrac {\sqrt 3}{3} , \angle QFE=\dfrac {\pi}{3},$$故 $EH=\dfrac 12$．
因此点 $A$ 到平面 $MCN$ 的距离为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
