（本题满分40分）如图，$AB$ 是圆 $\omega$ 的一条弦，$P$ 为弧 $AB$ 内一点，$E,F$ 为线段 $AB$ 上两点，满足 $AE=EF=FB$．连结 $PE,PF$ 并延长，与圆 $\omega$ 分别相交于点 $C,D$．求证：\[EF\cdot CD=AC\cdot BD.\]
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
连结 $AD,BC,CF,DE$．由于 $AE=EF=FB$，从而\[\dfrac{BC\cdot \sin \angle BCE}{AC\cdot \sin \angle ACE}=\dfrac{\text{点}B\text{到直线}CP\text{的距离}}{\text{点}A\text{到直线}CP\text{的距离}}=\dfrac{BE}{AE}=2\cdots\cdots \text{ ① }\]同样\[\dfrac{AD\cdot \sin \angle ADF}{BD\cdot \sin \angle BDF}=\dfrac{\text{点}A\text{到直线}PD\text{的距离}}{\text{点}B\text{到直线}PD\text{的距离}}=\dfrac{AF}{BF}=2\cdots\cdots \text{ ② }\]另一方面，由于\[\begin{split}&\angle BCE=\angle BCP=\angle BDP=\angle BDF,\\&\angle ACE=\angle ACP=\angle ADP=\angle ADF,\end{split}\]故将 ①、② 两式相乘可得 $\dfrac{BC\cdot AD}{AC\cdot BD}=4$，即\[BC\cdot AD=4AC\cdot BD\cdots\cdots\text{ ③ }\]由托勒密定理\[AD\cdot BC=AC\cdot BD+AB\cdot CD\cdots\cdots\text{ ④ }\]故由 ③④ 得\[AB\cdot CD=3AC\cdot BD,\]即\[EF\cdot CD=AC\cdot BD.\]
【解析】
无
答案
解析
备注
