已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{n}a_{n+1}=1+a_{n}$，试求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$a_{n}=\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+\sqrt 5)^{n+1}-(1-\sqrt 5)^{n+1}}{(1+\sqrt 5)^{n}-(1-\sqrt 5)^{n}}$
【解析】
由数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}a_{n+1}=1+a_{n}$ 知对 $\forall n\in\mathbb N^{*}$，$a_{n}\ne 0$，所以\[a_{n+1}=\dfrac{1+a_{n}}{a_{n}}=1+\dfrac{1}{a_{n}}\cdots\cdots\text{ ① }\]令\[a_{n+1}-p=k\dfrac{a_{n}-p}{a_{n}}\cdots\cdots\text{ ② }\]由 ② 得\[a_{n+1}=p+k-\dfrac{kp}{a_{n}}\cdots\cdots\text{ ③ }\]由 ①、③，得 $\begin{cases}p+k=1,\\ pk=-1,\end{cases}$ 则 $p,k$ 为一元二次方程 $x^{2}-x-1=0$ 的两个根，所以\[\begin{cases}p=\dfrac{1+\sqrt 5}{2},\\ k=\dfrac{1-\sqrt 5}{2},\end{cases}\text{或}\begin{cases}p=\dfrac{1-\sqrt 5}{2},\\ k=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}.\end{cases}\]所以\[\begin{split}&a_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt 5}{2}=\dfrac{\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\left(a_{n}-\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)}{a_{n}}\cdots\cdots\text{ ④ }\\ & a_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt 5}{2}=\dfrac{\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\left(a_{n}-\dfrac{1-\sqrt 5}{2}\right)}{a_{n}}\cdots\cdots\text{ ⑤ }\end{split}\]由 ④ 与 ⑤，得\[\dfrac{a_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt 5}{2}}{a_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt 5}{2}}=\dfrac{1-\sqrt 5}{1+\sqrt 5}\cdot \dfrac{a_{n}-\dfrac{1+\sqrt 5}{2}}{a_{n}-\dfrac{1-\sqrt 5}{2}}\cdots\cdots\text{ ⑥ }\]所以数列 $\left\{\dfrac{a_{n}-\dfrac{1+\sqrt 5}{2}}{a_{n}-\dfrac{1-\sqrt 5}{2}}\right\}$ 是以 $\dfrac{1-\sqrt 5}{1+\sqrt 5}$ 为公比，$\dfrac{1-\sqrt 5}{1+\sqrt 5}$ 为首项的等比数列，则\[\dfrac{a_{n}-\dfrac{1+\sqrt 5}{2}}{a_{n}-\dfrac{1-\sqrt 5}{2}}=\dfrac{1-\sqrt 5}{1+\sqrt 5}\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{1+\sqrt 5}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1-\sqrt 5}{1+\sqrt 5}\right)^{n},\]于是 $a_{n}=\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+\sqrt 5)^{n+1}-(1-\sqrt 5)^{n+1}}{(1+\sqrt 5)^{n}-(1-\sqrt 5)^{n}}$．
答案
解析
备注
