在 $\triangle ABC$ 中，求证：$\cos \dfrac{A}{2}+\cos \dfrac{B}{2}+\cos \dfrac{C}{2}>\sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，则 $\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，于是 $\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}<\dfrac{\pi}{2}$，从而 $0<\dfrac{A}{2}<\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{B}{2}<\dfrac{\pi}{2}$，则\[\cos\dfrac{A}{2}>\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{B}{2}\right)=\sin\dfrac{B}{2}\cdots\cdots\text{ ① }\]同理可得\[\begin{split}&\cos \dfrac{B}{2}>\sin \dfrac{C}{2}\cdots\cdots\text{ ① }\\& \cos\dfrac{C}{2}>\sin\dfrac{A}{2}\cdots\cdots\text{ ③ }\end{split}\]由 ①②③ 得\[\cos\dfrac{A}{2}+\cos\dfrac{B}{2}+\cos \dfrac{C}{2}>\sin \dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2}.\]
答案
解析
备注
