题目 （12分）一个口袋中有 $2$ 个白球和 $n$ 个红球（$n\geqslant 2$，且 $n\in\mathbb N^{*}$），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖． 问题1 试用含 $n$ 的代数式表示一次摸球中奖的概率 $P$； 答案1 $P=\dfrac{n^{2}-n+2}{n^{2}+3n+2}$ 解析1 一次摸球从 $n+2$ 个球中任选两个，有 ${\rm C}_{n+2}^{2}$ 种选法，其中两球颜色相同有 ${\rm C}_{n}^{2}+{\rm C}_{2}^{2}$ 种选法；一次摸球中奖的概率\[P=\dfrac{{\rm C}_{n}^{2}+{\rm C}_{2}^{2}}{{\rm C}_{n+2}^{2}}=\dfrac{n^{2}-n+2}{n^{2}+3n+2}.\] 备注1 问题2 若 $n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率； 答案2 $\dfrac{54}{125}$ 解析2 若 $n=3$，则一次摸球中奖的概率是 $P=\dfrac{2}{5}$，三次摸球是独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是\[P_{3}(1)={\rm C}_{3}^{1}\cdot P\cdot (1-P)^{2}=\dfrac{54}{125}.\] 备注2 问题3 记三次摸球恰有一次中奖的概率为 $f(p)$，当 $n$ 为何值时，$f(p)$ 取最大值． 答案3 $n=2$ 时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大 解析3 设一次摸球中奖的概率是 $p$，则三次摸球恰有一次中奖的概率是 $f(p)={\rm C}_{3}^{1}\cdot p\cdot (1-p)^{2}=3p^{3}-6p^{2}+3p$，$0<p<1$．因为\[f'(p)=9p^{2}-12p+3=3(p-1)(3p-1),\]所以 $f(p)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{3}\right)$ 是增函数，则 $\left(\dfrac{1}{3},1\right)$ 是减函数，所以当 $p=\dfrac{1}{3}$ 时，$f(p)$ 取最大值．所以\[p=\dfrac{n^{2}-n+2}{n^{2}+3n+2}=\dfrac{1}{3}(n\geqslant 2,n\in\mathbb N^{*}),\]所以 $n=2$，故 $n=2$ 时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大． 备注3