2013年浙江省高中数学竞赛

$\dfrac{1}{100}$

\textbf{解法1}\qquad 由已知得，设 $t$ 为二次函数在 $[3,4]$ 上的零点，则有\[at^{2}+(2b+1)t-a-2=0,\]变形\[\begin{split}(2-t)^{2}&=\left[a(t^{2}-1)+2bt\right]^{2}\\&\leqslant (a^{2}+b^{2})[(t^{2}-1)^{2}+t^{2}]\\&=(a^{2}+b^{2})(1+t^{2})^{2},\end{split}\]于是 $a^{2}+b^{2}\geqslant \left(\dfrac{t-2}{1+t^{2}}\right)^{2}=\dfrac{1}{\left(t-2+\dfrac{5}{t-2}+4\right)^{2}}\geqslant \dfrac{1}{100}$．因为 $t-2+\dfrac{5}{t-2}$，$t\in[3,4]$ 是减函数，上述式子在 $t=3$，$a=-\dfrac{2}{25}$，$b=-\dfrac{3}{50}$ 时取等号，故 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $\dfrac{1}{100}$．
\textbf{解法2}\qquad 把等式看成关于 $a,b$ 的直线方程：$(x^{2}-1)a+2xb+x-2=0$，利用直线上一点 $(a,b)$ 到原点的距离不小于原点到直线的距离，即 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geqslant \dfrac{|x-2|}{\sqrt{(x^{2}-1)^{2}+(2x)^{2}}}$（以下同上）．