给定整数 $n>2$，设正实数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ 满足 $a_k \leqslant 1$，$k=1,2,\cdots,n$，记 $A_k=\dfrac {a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}$，$k=1,2,\cdots,n$．求证：$\displaystyle \left|\sum \limits_{k=1}^{n}a_k-\sum \limits_{k=1}^{n}A_k \right|<\dfrac {n-1}{2}$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $0<a_k \leqslant 1$ 知，对 $1\leqslant k \leqslant n-1$，有 $\displaystyle 0<\sum \limits_{i=1}^{k}a_i \leqslant k$，$\displaystyle 0<\sum \limits_{i=k+1}^{n}a_i \leqslant n-k$．注意到当 $x,y>0$ 时，有 $|x-y|<\min \{x,y\}$，于是对 $1 \leqslant k \leqslant n-1$，有\[\begin{split} |A_n-A_k|&=\left|\left(\dfrac 1n-\dfrac 1k \right)\sum \limits_{i=1}^{k}a_i+\dfrac 1n\sum \limits_{i=k+1}^{n}a_i \right|\\&=\left|\dfrac 1n\sum \limits_{i=k+1}^{n}a_i-\left(\dfrac 1k-\dfrac 1n \right)\sum \limits_{i=1}^{k}a_i \right|\\& < \max\left\{\dfrac 1n\sum \limits_{i=k+1}^{n}a_i,\left(\dfrac 1k-\dfrac 1n \right)\sum \limits_{i=1}^{k}a_i \right\}\\&\leqslant \max\left\{\dfrac 1n(n-k),\left(\dfrac 1k-\dfrac 1n \right)k \right\}\\&=1-\dfrac {k}{n}.\end{split}\]故\[\begin{split} \left|\sum \limits_{k=1}^{n}a_k-\sum \limits_{k=1}^{n}A_k \right|&=\left|nA_n-\sum \limits_{k=1}^{n}A_k \right|\\&=\left| \sum \limits_{k=1}^{n-1}(A_n-A_k) \right|\\&\leqslant \sum \limits_{k=1}^{n-1} \left|A_n-A_k \right|\\&< \sum \limits_{k=1}^{n-1}\left(1-\dfrac kn\right)=\dfrac {n-1}{2}.\end{split}\]
答案
解析
备注
