设 $k$ 是给定的正整数，$r=k+\dfrac 12$．记 $f^{(1)}(r)=f(r)=r\lceil r \rceil$，$f^{(l)}(r)=f(f^{(l-1)}(r)) $，$l \geqslant 2$ ．证明：存在正整数 $m$，使得 $f^{(m)}(r)$ 为一个整数．这里 $\lceil x \rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数，例如：$\left\lceil \dfrac 12 \right\rceil=1$，$\lceil 1 \rceil=1$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $v_2(n)$ 表示正整数 $n$ 所含的 $2$ 的幂次．则当 $m=v_2(k)+1$ 时，$f^{(m)}(r)$ 为整数．
下面我们对 $v_2(k)=v$ 用数学归纳法．
当 $v=0$ 时，$k$ 为奇数，$k+1$ 为偶数，此时$$f(r)=\left(k+\dfrac 12\right) \left\lceil k+\dfrac 12\right\rceil=\left(k+\dfrac 12\right) (k+1)$$为整数．
假设命题对 $v-1$（$v\geqslant 1$）成立．
对于 $v\geqslant 1$，设 $k$ 的二进制表示具有形式$$k=2^v+\alpha_{v+1}\cdot 2^{v+1}+\alpha_{v+2}\cdot 2^{v+2}+\cdots ,$$这里，$\alpha_{i}=0$ 或者 $\alpha_{i}=1$，$i=v+1,v+2,\cdots$．于是\[\begin{split}f(r)&=\left(k+\dfrac 12\right) \left\lceil k+\dfrac 12\right\rceil\\&=\left(k+\dfrac 12\right) (k+1)\\&=\dfrac 12+\dfrac k2+k^2+k \\&=k'+\dfrac 12 .\quad\cdots\cdots \text{ ① } \end{split}\]这里$$k'=2^{v-1}+(\alpha_{v+1}+1)\cdot 2^v+(\alpha_{v+1}+ \alpha_{v+2})\cdot 2^{v+1}+\cdots +2^{2v}+\cdots.$$显然 $k'$ 中所含的 $2$ 的幂次为 $v-1$．
故由归纳假设知，$r'=k'+\dfrac 12$ 经过 $f$ 的 $v$ 次迭代得到整数，由 ① 知，$f^{(v+1)}(r)$ 是一个整数，这就完成了归纳证明．
下面我们对 $v_2(k)=v$ 用数学归纳法．
当 $v=0$ 时，$k$ 为奇数，$k+1$ 为偶数，此时$$f(r)=\left(k+\dfrac 12\right) \left\lceil k+\dfrac 12\right\rceil=\left(k+\dfrac 12\right) (k+1)$$为整数．
假设命题对 $v-1$（$v\geqslant 1$）成立．
对于 $v\geqslant 1$，设 $k$ 的二进制表示具有形式$$k=2^v+\alpha_{v+1}\cdot 2^{v+1}+\alpha_{v+2}\cdot 2^{v+2}+\cdots ,$$这里，$\alpha_{i}=0$ 或者 $\alpha_{i}=1$，$i=v+1,v+2,\cdots$．于是\[\begin{split}f(r)&=\left(k+\dfrac 12\right) \left\lceil k+\dfrac 12\right\rceil\\&=\left(k+\dfrac 12\right) (k+1)\\&=\dfrac 12+\dfrac k2+k^2+k \\&=k'+\dfrac 12 .\quad\cdots\cdots \text{ ① } \end{split}\]这里$$k'=2^{v-1}+(\alpha_{v+1}+1)\cdot 2^v+(\alpha_{v+1}+ \alpha_{v+2})\cdot 2^{v+1}+\cdots +2^{2v}+\cdots.$$显然 $k'$ 中所含的 $2$ 的幂次为 $v-1$．
故由归纳假设知，$r'=k'+\dfrac 12$ 经过 $f$ 的 $v$ 次迭代得到整数，由 ① 知，$f^{(v+1)}(r)$ 是一个整数，这就完成了归纳证明．
答案
解析
备注
