设 $a,b,c\in\mathbb R^{+}$，$ab+bc+ca\geqslant 3$，证明：$a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{3}(b^{2}+c^{2})+b^{3}(c^{2}+a^{2})+c^{3}(a^{2}+b^{2})\geqslant 9$．
【难度】
【出处】
2013年浙江省高中数学竞赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
原命题等价于 $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant 9$．又 $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\geqslant 9\left(\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\right)^{3}$，故只需要证明 $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3$ 成立．利用已知条件，这是显然的．
答案
解析
备注
