课程学习：正方形折纸中的数学．
动手操作：如图1，四边形 $ABCD$ 是一张正方形纸片，先将正方形 $ABCD$ 对折，使 $BC$ 与 $AD$ 重合，折痕为 $EF$，把这个正方形展平，然后沿直线 $CG$ 折叠，使 $B$ 点落在 $EF$ 上，对应点为 $B'$．
动手操作：如图1，四边形 $ABCD$ 是一张正方形纸片，先将正方形 $ABCD$ 对折，使 $BC$ 与 $AD$ 重合，折痕为 $EF$，把这个正方形展平，然后沿直线 $CG$ 折叠，使 $B$ 点落在 $EF$ 上，对应点为 $B'$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
数学思考：求 $\angle CB'F$ 的度数；标注答案$\angle CB'F=30^\circ $解析如图1，由对折可知，$\angle EFC=90^\circ $，$CF=\dfrac12CD$．
因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $ CD=CB$，
所以 $CF=\dfrac12BC$．
因为 $ CB'=CB$，
所以 $CF=\dfrac12CB'$，
所以在 ${\mathrm{Rt}}\triangle B'FC$ 中，$\angle CB'F=30^\circ $． -
如图2，在图1的基础上，连接 $AB'$，试判断 $\angle B'AE$ 与 $\angle GCB'$ 的大小关系，并说明理由；标注答案$\angle B'AE=\angle GCB'$解析
如图2，连接 $BB'$ 交 $CG$ 于点 $K$，由对折可知，$EF$ 垂直平分 $AB$．
所以 $B'A=B'B$，$\angle B'AE=\angle B'BE$．
因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $\angle ABC=90^\circ $，
所以 $\angle B′BE+\angle KBC=90^\circ $．
由折叠知，$\angle BKC=90^\circ $，
所以 $ \angle KBC+\angle GCB=90^\circ $，
所以 $ \angle B'BE=\angle GCB$．
又由折叠知，$\angle GCB=\angle GCB'$，
所以 $\angle B'AE=\angle GCB'$． -
解决问题：如图3，按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形 $ABCD$ 对折，使 $BC$ 与 $AD$ 重合，折痕为 $EF$，把这个正方形展平，然后继续对折，使 $AB$ 与 $DC$ 重合，折痕为 $MN$，再把这个正方形展平，设 $EF$ 和 $MN$ 相交于点 $O$；
第二步：沿直线 $CG$ 折叠，使 $B$ 点落在 $EF$ 上，对应点为 $B'$，再沿直线 $AH$ 折叠，使 $D$ 点落在 $EF$ 上，对应点为 $D'$；
第三步：设 $CG$，$AH$ 分别与 $MN$ 相交于点 $P$．$Q$，连接 $B'P$，$PD'$，$D'Q$，$QB'$，试判断四边形 $B'PD'Q$ 的形状，并证明你的结论．标注答案四边形 $B'PD'Q$ 为正方形解析四边形 $B'PD'Q$ 为正方形．证明如下：
如图 3，连接 $AB'$．
由 $(2)$ 可知 $\angle B'AE=\angle GCB'$，由折叠可知，$\angle GCB'=\angle PCN$，
所以 $\angle B'AE=\angle PCN$．
由对折知 $\angle AEB=\angle CNP=90^\circ $，$AE=\dfrac12AB$，$CN=\dfrac12BC$．
因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $AB=BC$，
所以 $ AE=CN$．
在 $\triangle AEB'$ 和 $\triangle CNP$，
$\begin{cases}\angle B'AE=\angle PCN,\\ AE=CN,\\ \angle AEB'=\angle CNP,\end{cases}$
所以 $ \triangle AEB'\cong \triangle CNP$，
所以 $EB'=NP$．
同理可得，$FD'=MQ$．
由对称性可知，$EB'=FD'$，
所以 $ EB'=NP=FD'=MQ$．
由两次对折可得，$OE=ON=OF=OM$，
所以 $ OB'=OP=OD'=OQ$，
所以四边形 $B'PD'Q$ 为矩形．
由对折知，$MN\perp EF$，于点 $O$，
所以 $ PQ\perp B'D'$ 于点 $O$，
所以四边形 $B'PD'Q$ 为正方形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
