已知抛物线 $y^{2}=4x$，过 $x$ 轴上一点 $K$ 的直线与抛物线交于点 $P,Q$ 两点．证明：存在唯一一点 $K$，使得 $\dfrac{1}{|PK|^{2}}+\dfrac{1}{|KQ|^{2}}$ 为常数，并确定 $K$ 点的坐标．
【难度】
【出处】
2013年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $K(a,0)$，过 $K$ 点直线方程为 $y=k(x-a)$，交抛物线于 $A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$，联立方程组 $\begin{cases}y^{2}=4x,\\ y=k(x-a)\end{cases}$ 消 $y$ 得\[k^{2}x^{2}-2(ak^{2}+2)x+a^{2}k^{2}=0,\]所以 $x_{1}+x_{2}=\dfrac{2(ak^{2}+2)}{k^{2}}$，$x_{1}+x_{2}=a^{2}$．因为 $|PK|^{2}=(x_{1}-a)^{2}+y_{1}^{2}$，$|KQ|^{2}=(x_{2}-a)^{2}+y_{2}^{2}$，所以\[\dfrac{1}{|PK|^{2}}+\dfrac{1}{|KQ|^{2}}=\dfrac{1+\dfrac{a}{2}k^{2}}{a^{2}(1+k^{2})},\]令 $a=2$，于是有\[\dfrac{1}{|PK|^{2}}+\dfrac{1}{|KQ|^{2}}=\dfrac{1}{4},\]此时 $K(2,0)$．
答案
解析
备注
