（本题满分50分）一次考试共有 $m$ 道试题，$n$ 个学生参加，其中 $m,n\geqslant 2$ 为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有 $x$ 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得分 $x$ 分，未答对的学生得零分．每个学生总分为其 $m$ 道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为 $p_{1}\geqslant p_{2}\geqslant \cdots\geqslant p_{n}$，求 $p_{1}+p_{n}$ 的最大可能值．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
对任意的 $k=1,2,\cdots,m$，设第 $k$ 题没有答对者有 $x_{k}$ 人，则第 $k$ 题答对者有 $n-x_{k}$ 人，由得分规则知，这 $n-x_{k}$ 个人在第 $k$ 题均得到 $x_{k}$ 分．设 $n$ 个学生得分之和为 $S$，则有\[\sum\limits_{i=1}^{p}p_{i}=S=\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}(n-x_{k})=n\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}-\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}^{2}.\]因为每一个人在第 $k$ 道题上至多得 $x_{k}$ 分，故\[p_{1}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}.\]由于 $p_{2}\geqslant \cdots\geqslant p_{n}$，故有 $p_{n}\leqslant \dfrac{p_{2}+p_{3}+\cdots+p_{n}}{n-1}=\dfrac{S-p_{1}}{n-1}$．所以\[\begin{split}p_{1}+p_{n}&\leqslant p_{1}+\dfrac{S-p_{1}}{n-1}\\&=\dfrac{n-2}{n-1}p_{1}+\dfrac{S}{n-1}\\&\leqslant \dfrac{n-2}{n-1}\cdot \sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}+\dfrac{1}{n-1}\cdot \left(n\sum\limits _{k=1}^{m}x_{k}-\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}^{2}\right)\\&=2\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}-\dfrac{1}{n-1}\cdot \sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}^{2}.\end{split}\]由柯西不等式得\[\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}^{2}\geqslant \dfrac{1}{m}\left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}\right)^{2},\]于是\[\begin{split}p_{1}+p_{n}&\leqslant 2\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}-\dfrac{1}{m(n-1)}\cdot \left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}\right)^{2}\\&=-\dfrac{1}{m(n-1)}\cdot \left(\sum\limits_{k=1}^{m}x_{k}-m(n-1)\right)^{2}+m(n-1)\\&\leqslant m(n-1),\end{split}\]另一方面，若有一个学生全部答对，其他 $n-1$ 个学生全部答错，则\[p_{1}+p_{n}=p_{1}=\sum\limits_{k=1}^{m}(n-1)=m(n-1).\]综上所述，$p_{1}+p_{n}$ 的最大值为 $m(n-1)$．
【解析】
无
答案
解析
备注
