设实数 $a,b\in[\alpha,\beta]$，求证：$$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\leqslant\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}.$$其中等号当且仅当 $a=\alpha,b=\beta$ 或 $a=\beta,b=\alpha$ 时成立，$\alpha,\beta$ 为正实数．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由对称性，不妨设 $a\leqslant b$，令 $\dfrac{a}{b}=t$，则因 $\alpha\leqslant a\leqslant b\leqslant\beta$，可得$$\dfrac{\alpha}{\beta}\leqslant t=\dfrac{a}{b}\leqslant 1,$$设$$f(t)=t+\dfrac1t,\dfrac{\alpha}{\beta}\leqslant t\leqslant1,$$则对 $t$ 求导，得 $f'(t)=1-\dfrac{1}{t^2}$，易知，当 $t\in\left[\dfrac{\alpha}{\beta},1\right)$ 时，$f'(t)<0$，$f(t)$ 单调递减，故 $f(t)$ 在 $t=\dfrac{\alpha}{\beta}$ 处有最大值且 $f\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)=\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}$，由 $\dfrac{a}{b}=t$，得$$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\leqslant\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta},$$其中等号仅当 $a=\alpha,b=\beta$ 成立，由对称性，可知原命题成立．
答案
解析
备注
