设函数 $f(x)=x^2+ax+b$（其中 $a,b$ 为实常数），已知不等式 $|f(x)|\leqslant |2x^2+4x-30|$ 对任意实数 $x$ 均成立，定义数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 为：$a_1=\dfrac 12,2a_n=f(a_{n-1})+15(n=2,3,4,\cdots ),b_n=\dfrac 1{2+a_n}(n=1,2,3,\cdots )$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$，其前 $n$ 项的乘积记为 $T_n$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
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求证：$a=2$，且 $b=-15$．标注答案略解析设方程 $2x^2+4x-30=0$ 的两个实根为 $\alpha ,\beta $，则$$\begin{cases}\alpha +\beta =-2,\\ \alpha \beta =-15.\end{cases}$$在 $|f(x)|\leqslant |2x^2+4x-30|$ 中取 $x=\alpha $，得 $|f(\alpha )|\leqslant 0$，因此 $f(\alpha )=0$．同理可得 $f(\beta )=0$．所以\[\begin{split}f(x)&=(x-\alpha )(x-\beta )\\&=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \\ &=x^2+2x-15,\end{split}\]易知\[\begin{split}|x^2+2x-15|&\leqslant 2|x^2+2x-15|\\&=|2x^2+4x-30|,\end{split}\]对于 $x\in {\mathbb R}$ 均成立．
因此 $\begin{cases}a=2,\\ b=-15 \end{cases}$ 是唯一一组满足题设的值． -
证明：对任意正整数 $n,2^{n+1}T_n+S_n$ 为定值．标注答案略解析由 $(1)$ 知 $f(x)=x^2+2x-15$，所以 $2a_n=a_{n-1}^2+2a_{n-1}$，从而 $2a_{n+1}=a_n(a_n+2)$，则$$b_n=\dfrac {1}{2+a_n}=\dfrac {a_n}{2a_{n+1}}=\dfrac {a_n^2}{2a_na_{n+1}}=\dfrac {2a_{n+1}-2a_n}{2a_na_{n+1}}=\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1{a_{n+1}}.$$因此\[\begin{split}T_n&=b_1b_2b_3 \cdots b_n\\&=\dfrac {a_1}{2a_2}\centerdot \dfrac {a_2}{2a_3}\centerdot \cdots \centerdot \dfrac {a_n}{2a_{n+1}}\\&=\dfrac 1{2^{n+1}a_{n+1}}, \end{split}\]\[\begin{split}S_n&=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n\\&=\left(\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_2} \right) + \left(\dfrac 1{a_2}-\dfrac 1{a_3} \right)+\cdots + \left(\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1{a_{n+1}} \right)\\&=\dfrac 1{a_1}-\dfrac 1{a_{n+1}} \\&=2-\dfrac 1{a_{n+1}}.\end{split}\]因此 $2^{n-1}T_n+S_n=\dfrac 1{a_{n+1}}+\left(2-\dfrac 1{a_{n+1}} \right)=2$ 为定值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
