在四维空间中，定义点 $A(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 与点 $B(b_1,b_2,b_3,b_4)$ 之间的距离为 $\displaystyle AB=\sqrt {\sum \limits_{i=1}^4(a_i-b_i)^2}$，考察点集$$I=\{P(c_1,c_2,c_3,c_4)|c_i=0\text{或}1,i=1,2,3,4\},$$如果对 $I$ 的任意一个 $n$ 元子集 $Q=\{P_1,P_2,\cdots ,P_n\}$，都能找到 $P_i,P_j,P_k\in Q$，使得 $\triangle P_iP_jP_k$ 为正三角形，即 $P_iP_j=P_jP_k=P_kP_i$，求 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
构造如下的 $8$ 个点：$P_1(0,0,0,0),P_2(0,1,0,0),P_3(0,0,0,1),P_4(0,0,1,1),P_5(1,1,0,0),P_6(1,1,1,0),P_7(1,1,1,1),P_8(1,0,1,1)$．由计算可知，其中以任意三点为顶点均不能构成正三角形，所以 $n_{min}\geqslant 9.$
当 $n=9$ 时，记$$S_m=\{P|P\in I,\text{且}PP_m=1 \}(m=1,2,\cdots 9),$$则 $|S_m|=4$，所以$$\sum\limits_{m=1}^0|S_m|=4\times 9=36, $$而 $|I|=2^4=16$，所以存在 $P\in I$，使得$$P\in S_i\cap S_j\cap S_k,$$即$$PP_i=PP_j=PP_k=1,$$所以$$P_iP_j=P_jP_k=P_kP_i=\sqrt 2,$$$\triangle P_iP_jP_k$ 为正三角形．
综上可知，$n$ 的最小值为 $9$．
当 $n=9$ 时，记$$S_m=\{P|P\in I,\text{且}PP_m=1 \}(m=1,2,\cdots 9),$$则 $|S_m|=4$，所以$$\sum\limits_{m=1}^0|S_m|=4\times 9=36, $$而 $|I|=2^4=16$，所以存在 $P\in I$，使得$$P\in S_i\cap S_j\cap S_k,$$即$$PP_i=PP_j=PP_k=1,$$所以$$P_iP_j=P_jP_k=P_kP_i=\sqrt 2,$$$\triangle P_iP_jP_k$ 为正三角形．
综上可知，$n$ 的最小值为 $9$．
答案
解析
备注
