题目 设直线 $l$：$y = k\left( {x + 1} \right)$ 与椭圆 ${x^2} + 3{y^2} = {a^2}$（$a > 0$）相交于 $A$、$B$ 两个不同的点，与 $x$ 轴相交于点 $C$，记 $O$ 为坐标原点． 问题1 证明：${a^2} > \dfrac{{3{k^2}}}{{1 + 3{k^2}}}$； 答案1 略 解析1 联立直线方程与椭圆方程计算判别式即得； 备注1 问题2 若 $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CB} $，求 $\triangle OAB$ 的面积取得最大值时的椭圆方程． 答案2 ${x^2} + 3{y^2} = 5$ 解析2 设 $x = my - 1$，设 $A\left( {{x_1}, {y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2}, {y_2}} \right)$，则 ${y_1} = - 2{y_2}$，联立直线与椭圆方程，有$$\left( {{m^2} + 3} \right){y^2} - 2my + 1 - {a^2} = 0,$$由两根比公式知$$4m^2=\left(-2-\dfrac 12+2\right)(m^2+3)(1-a^2),$$化简有$${a^2} = \dfrac{{9{m^2} + 3}}{{{m^2} + 3}}$$另一方面，$${S_{\triangle OAB}} = \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot \left| {{y_1} - {y_2}} \right| = \dfrac{{3\left| m \right|}}{{{m^2} + 3}},$$于是当且仅当 ${m^2} = 3$ 时，$\triangle OAB$ 的面积取得最大值，此时 ${a^2} = 5$．<br/>因此椭圆方程为 ${x^2} + 3{y^2} = 5$ 为所求． 备注2