如图，已知锐角 $\triangle ABC$ 的外接圆半径 $R=1,\angle BAC=60^\circ,\triangle ABC$ 的垂心和外心分别为 $H$ 和 $O$，连接 $OH$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $P$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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求凹四边形 $ABHC$ 的面积；标注答案$\dfrac {\sqrt 3}2$解析如图，连接 $AH$，作 $OD\perp BC$ 于点 $D$，由 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心及 $\angle BAC=60^\circ $ 知，\[\begin{split}&\angle BOC=2\angle BAC=120^\circ,\\&OD=OC\cos 60^\circ =\dfrac 12. \end{split}\]由欧拉线的性质知 $AH=2OD=1$．由正弦定理知$$BC=2R\sin \angle BAC=\sqrt 3.$$所以凹四边形 $ABHC$ 的面积为 $\dfrac 12AH\cdot BC=\dfrac {\sqrt 3}2$．
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求 $PO\cdot OH$ 的值．标注答案$1$解析由于$$\angle BOC=2\angle BAC=120^\circ,$$又因为 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，所以\[\begin{split}\angle BHC&=180^\circ -(\angle HBC+\angle HCB)\\&=180^\circ -\angle BAC\\&=120^\circ. \end{split}\]因此 $B,C,H,O$ 四点共圆，$PO\cdot PH=PB\cdot PC$．
又因为 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，并结合圆幂定理知，$$PB\cdot PC=PO^2-R^2.$$因此$$PO\cdot PH=PB\cdot PC=PO^2-R^2,$$可知$$PO^2-PO\cdot PH=1,$$即 $PO\cdot OH=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
