已知正数 $a,b,c$ 满足：$2a+4b+7c\leqslant 2abc$，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {15}{2}$
【解析】
当 $a=3,b=\dfrac 52,c=2$ 时，$a+b+c=3+\dfrac 52+2=\dfrac {15}{2}.$
下面证 $\dfrac {15}{2}$ 即为所求的最小值．
设 $a=3x,b=\dfrac 52y,c=2z$，则由已知有$$2\cdot 3x+4\cdot \dfrac 52y+7\cdot 2z\leqslant 2\cdot 3x\cdot \dfrac 52y\cdot 2z,$$即$$3x+5y+7z\leqslant 15xyz.$$由均值不等式得\[\begin{split}3x+5y+7z&=\underbrace{x+\cdots +x}_3+\underbrace{y+\cdots +y}_5+\underbrace{z+\cdots +z}_7\\&\geqslant 15\sqrt [15]{x^3y^5z^7},\end{split}\]则$$15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\leqslant 15xyz,$$即$$x^6y^5z^4\geqslant 1.$$因此\[\begin{split}a+b+c&=3x+\dfrac 52y+2z\\&=\dfrac 12\left(\underbrace{x+\cdots +x}_6+\underbrace{y+\cdots +y}_5+\underbrace{z+\cdots +z}_4 \right)\\&\geqslant \dfrac 12\cdot 15\sqrt[15]{x^6y^5z^4}\\&\geqslant \dfrac 12\cdot 15\sqrt[15]{1}\\&\geqslant \dfrac {15}{2}. \end{split}\]
下面证 $\dfrac {15}{2}$ 即为所求的最小值．
设 $a=3x,b=\dfrac 52y,c=2z$，则由已知有$$2\cdot 3x+4\cdot \dfrac 52y+7\cdot 2z\leqslant 2\cdot 3x\cdot \dfrac 52y\cdot 2z,$$即$$3x+5y+7z\leqslant 15xyz.$$由均值不等式得\[\begin{split}3x+5y+7z&=\underbrace{x+\cdots +x}_3+\underbrace{y+\cdots +y}_5+\underbrace{z+\cdots +z}_7\\&\geqslant 15\sqrt [15]{x^3y^5z^7},\end{split}\]则$$15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\leqslant 15xyz,$$即$$x^6y^5z^4\geqslant 1.$$因此\[\begin{split}a+b+c&=3x+\dfrac 52y+2z\\&=\dfrac 12\left(\underbrace{x+\cdots +x}_6+\underbrace{y+\cdots +y}_5+\underbrace{z+\cdots +z}_4 \right)\\&\geqslant \dfrac 12\cdot 15\sqrt[15]{x^6y^5z^4}\\&\geqslant \dfrac 12\cdot 15\sqrt[15]{1}\\&\geqslant \dfrac {15}{2}. \end{split}\]
答案
解析
备注
