设 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 为椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为椭圆上任意一点，直线 $PF_1,PF_2$ 分别交椭圆于异于 $P$ 的点 $A,B$，若 $\overrightarrow {PF_1}=\lambda \overrightarrow {F_1A}$，$\overrightarrow {PF_2}=\mu\overrightarrow {F_2B}$，求证：$\lambda +\mu=2\cdot\dfrac {a^2+c^2}{a^2-c^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设直线 $PA,PB$ 的倾斜角为 $\alpha,\beta$，根据椭圆的焦半径公式II，有\[\begin{aligned}\lambda =\dfrac{PF_1}{F_1A}=\dfrac{a+c\cos\alpha}{a-c\cos\alpha}=-1+\dfrac{2a}{a-c\cos\alpha},\\
\mu=\dfrac{PF_2}{F_2B}=\dfrac{a+c\cos\beta}{a-c\cos\beta}=-1+\dfrac{2a}{a-c\cos\beta}.
\end{aligned}\]又根据椭圆的定义，有\[\dfrac{b^2}{a-c\cos\alpha}+\dfrac{b^2}{a-c\cos\beta}=2a,\]于是\[\lambda+\mu=-2+2a\cdot \dfrac{2a}{b^2}=2\cdot \dfrac{a^2+c^2}{a^2-c^2}.\]
\mu=\dfrac{PF_2}{F_2B}=\dfrac{a+c\cos\beta}{a-c\cos\beta}=-1+\dfrac{2a}{a-c\cos\beta}.
\end{aligned}\]又根据椭圆的定义，有\[\dfrac{b^2}{a-c\cos\alpha}+\dfrac{b^2}{a-c\cos\beta}=2a,\]于是\[\lambda+\mu=-2+2a\cdot \dfrac{2a}{b^2}=2\cdot \dfrac{a^2+c^2}{a^2-c^2}.\]
答案
解析
备注
