如图，抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A\left(1,0\right),B\left(4,0\right),C\left(0,3\right)$ 三点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得四边形 $PAOC$ 的周长最小？若存在，求出四边形 $PAOC$ 周长的最小值；若不存在，请说明理由．标注答案$9$解析如图，连接 $BC$ 交对称轴于点 $P$，此时 $P$ 即为所求．
因为点 $A$ 与点 $B$ 关于对称轴 $x=\dfrac 52$ 对称，
所以 $PA+PC=PB+PC\geqslant BC$，
即当点 $P$ 在直线 $BC$ 上时，四边形 $OAPC$ 的周长最小，
在 $\mathrm {Rt}\triangle BOC$ 中，$OB=4$，$OC=3$，$\angle BOC=90^\circ$，
所以 $ BC= \sqrt {OB^2+OC^2}=5$，
所以四边形 $PAOC$ 周长的最小值为 $OA+OC+BC=1+3+5=9$． -
如图2，点 $Q$ 是线段 $OB$ 上一动点，连接 $BC$，在线段 $BC$ 上是否存在这样的点 $M$，使 $\triangle CQM$ 为等腰三角形且 $\triangle BQM$ 为直角三角形？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$\left(\dfrac 32,\dfrac {15}{8} \right)$ 或 $\left(\dfrac {12}{7},\dfrac {12}{7}\right)$解析设直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx+t$．
将点 $B\left(4,0\right),C\left(0,3\right)$ 代入得
$\begin{cases} 4k+t=0, \\ t=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac 34, \\ t=3.\end{cases}$
所以直线 $BC$ 的解析式为 $y=-\dfrac 34x+3$．
要使 $\triangle CQM$ 是等腰三角形，且 $\triangle BQM$ 是直角三角形，则只有以下两种情况：
① 如图，$MQ\perp OB$，$CM=MQ$．
因为点 $M$ 在 $BC$ 上，设点 $M$ 的坐标为 $\left(m,-\dfrac 34m+3 \right)$，
则 $CM=MQ=-\dfrac 34m+3$，$MB=BC-CM= 5-\left(-\dfrac 34m+3\right)=2+\dfrac 34m$，
由 $\sin \angle CBO=\dfrac {OC}{BC}=\dfrac {MQ}{BM}=\dfrac 35$，
即 $\dfrac {-\dfrac 34m+3}{2+\dfrac 34m}=\dfrac 35$，
解得 $m=\dfrac 32$，
则点 $M$ 的坐标为 $\left(\dfrac 32,\dfrac {15}{8} \right)$；
② 如图，$CM=MQ$，$MQ\perp BC$．
过 $M$ 作 $MN\perp OB$ 于 $N$，
则 $ON=m$，$MN=-\dfrac 34m+3$，
在 $\mathrm {Rt}\triangle BMN$ 中，易得 $BM=\dfrac {MN}{\sin \angle MBN}=\dfrac 53\left(-\dfrac 34m+3\right)=-\dfrac 54m+5$，
所以 $CM=BC-BM=\dfrac 54m$，
在 $\mathrm {Rt}\triangle BMQ$ 中，$QM=BM\tan \angle MBQ=\dfrac 34\left(-\dfrac 54m+5\right)$，
由 $CM=MQ$ 得 $\dfrac 34\left(-\dfrac 54m+5\right)=\dfrac 54m$，
解得 $m=\dfrac {12}{7}$，
此时点 $M$ 的坐标为 $\left(\dfrac {12}{7},\dfrac {12}{7}\right)$．
综上可得，存在满足题意的点 $M$，其坐标为 $\left(\dfrac 32,\dfrac {15}{8} \right)$ 或 $\left(\dfrac {12}{7},\dfrac {12}{7}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
