设数列 $\{a_n\}(a_n\geqslant 0)$ 满足 $a_1=0,a_2=1,a_3=9$，且$$S_n^2S_{n-2}=10S_{n-1}^3(n>3),$$其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，求 $a_n(n\geqslant 3)$ 的表达式．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=9\times 10^{n-3}(n\geqslant 3)$
【解析】
因为 $S_n^2S_{n-2}=10S_{n-1}^3$，所以$$\left(\dfrac {S_n}{S_{n-1}}\right)^2=10\dfrac {S_{n-1}}{S_{n-2}},$$令 $b_n=\dfrac {S_n}{S_{n-1}}(n\geqslant 3)$，则 $b_n=(10b_{n-1})^{\frac 12}$，因此\[\begin{split}b_n &=10^{\frac 12}(10^{\frac 12}b_{n-2}^{\frac 12})^{\frac 12}\\&=10^{\frac 12+\frac 14}b_{n-2}^{\frac 14}\\& \cdots \\&=10^{\frac 12+\frac 14+\cdots+\frac 1{2^{n-3}}}b_3^{\frac 1{2^{n-3}}}\\&=10, \end{split}\]那么 $S_n=10S_{n-1}$，且$$a_n=9S_{n-1}=9a_{n-1}+9S_{n-2}=10a_{n-1},$$而 $a_3=9$，所以 $a_n=9\times 10^{n-3}(n\geqslant 3)$．
答案
解析
备注
