如图，已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的对称轴为直线 $x=-1$，且经过 $A\left(1,0\right),C\left(0,3\right)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
在抛物线的对称轴 $x=-1$ 上找一点 $M$，使点 $M$ 到点 $A$ 的距离与到点 $C$ 的距离之和最小，求点 $M$ 的坐标；标注答案点 $M$ 的坐标为 $\left(-1,2\right)$解析依题意得 $\begin{cases}-\dfrac{b}{2a }=-1,\\a+b+c=0,\\c=3 .\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\\c=3.\end{cases}$
所以抛物线解析式为 $y=-x^2-2x+3$，
所以点 $B\left(-3,0\right)$．
从而直线 $BC$ 的解析式为 $ y=x+3 $．
使 $MA+MC$ 最小的点 $M$ 应为直线 $BC$ 与对称轴 $x=
-1$ 的交点，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(-1,2\right)$． -
设点 $P$ 为抛物线的对称轴 $x=-1$ 上的一个动点，求使 $\triangle BPC$ 为直角三角形的点 $P$ 的坐标．标注答案点 $P$ 的坐标为 $\left(-1 ,-2\right)$，$\left(-1, 4\right)$，$\left(-1,\dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\right)$ 或 $\left(-1,\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\right)$解析设 $P\left(-1,t\right)$，结合 $B\left(-3,0\right)$，$C\left(0, 3\right)$，得
$BC^{2}=18$，$ {PB}^2=\left(-1+3\right)^2+t^2=4+t^2$，$ {PC}^2=\left(-1\right)^2+\left(t-3\right)^2=t^2-6t+10$．
① 若 $B$ 为直角顶点，则 $BC^2+PB^2=PC^2$，
即 $18+4+t^2=t^2-6t+10$．解之，得 $t=-2$．
② 若 $C$ 为直角顶点，则 $BC^2+PC^2=PB^2$，
即 $18+t^2-6t+10=4+t^2$．解之，得 $t=4$．
③ 若 $P$ 为直角顶点，则 $PB^2+PC^2=BC^2$，
即 $4+t^2+t^2-6t+10=18$ 解之，得 $t_1=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$，$t_2=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}$
综上所述，满足条件的点 $P$ 的坐标为 $\left(-1 ,-2\right)$，$\left(-1, 4\right)$，$\left(-1,\dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\right)$ 或 $\left(-1,\dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
