已知长度为 $6$ 的线段 $CD$ 的中点为 $M$，现以 $CD$ 为一边在同一侧作两个周长均为 $16$ 的 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$，且满足 $\angle AMB=90^\circ$，求 $\triangle AMB$ 面积的最小值．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {400}{41}$
【解析】
易知 $A,B$ 在椭圆 $\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}{16}=1$（$C,D$ 恰为左、右焦点）上运动，如图所示．设直线 $MA:y=kx$，联立$$\begin{cases}y=kx,\\ \dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}{16}=1,\end{cases}$$则$$\begin{cases}x_A^2=\dfrac {25\times 16}{16+25k^2},\\y_A^2=k^2x_A^2,\end{cases}$$可得$$|MA|^2=x_A^2+y_A^2=(1+k^2)\dfrac {25\times 16}{16+25k^2}.$$以 $-\dfrac 1k$ 代替 $k$，得\[\begin{split} |MB|^2&=\left[1+\left(-\dfrac 1k\right)^2\right]\dfrac {25\times 16}{16+25\left(-\dfrac 1k\right)^2}\\&=(1+k^2)\dfrac {25\times 16}{16k^2+25}. \end{split}\]则\[\begin{split}{S^2_{\triangle AMB}}&=\dfrac 14|MA|^2\cdot |MB|^2\\&=\dfrac 14\times 25\times 16\times \dfrac {25\times 16(1+k^2)^2}{(16k^2+25)(16+25k^2)}\\&=\dfrac 14\times 25\times 16\times \left[1-\dfrac {81}{25\times 16k^2+\dfrac {25\times 16}{k^2}+({25}^2+{16}^2)}\right]\\&\geqslant 100\left[1-\dfrac {81}{2\sqrt {25\times 16k^2\cdot \dfrac {25\times 16}{k^2}}+({25}^2+{16}^2)}\right]\\&=100\times \dfrac {{40}^2}{{41}^2}. \end{split}\]因此 $\triangle AMB$ 面积的最小值为 $\dfrac {400}{41}$，当 $k=\pm 1$ 时取到最小值．
答案
解析
备注
