设 $a,b,c$ 是实数，方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有 $3$ 个正根，证明 $2a^3+9c\leqslant 7ab$，并且等号成立当且仅当这 $3$ 个正根相等．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设方程的根分别为 $x_1,x_2,x_3$，由韦达定理得$$\begin{split}&x_1+x_2+x_3=-a,\\&x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=b,\\&x_1x_2x_3=-c,\end{split}$$所以$$7ab-2a^3-9c=\sum_{cyc}(x_1+x_2)(x_1-x_2)^2\geqslant 0,$$等号当且仅当 $x_1=x_2=x_3$ 时取得．
答案
解析
备注
