在三角形 $ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$M$ 是边 $BC$ 的中点，且 $\sin\angle BAM=\dfrac 13$，则 $\sin\angle BAC=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 6}3$
【解析】
恰当的将条件 $MB=MC$ 转化是解决问题的关键．
考虑到 $C$ 为直角，因此$$\tan\angle BAC=2\tan\angle MAC,$$即$$\tan\angle BAC=2\tan\left(\angle BAC-\angle BAM\right).$$由 $\sin\angle BAM=\dfrac 13$，得$$\tan\angle BAM=\dfrac{\sqrt 2}4,$$代入上式中，得$$\tan\angle BAC =2\cdot\dfrac{\tan\angle BAC-\frac{\sqrt 2}4}{1+\tan\angle BAC\cdot\frac{\sqrt 2}4},$$解得$$\tan \angle BAC=\sqrt 2,$$即 $\sin\angle BAC=\dfrac{\sqrt 6}3$．
考虑到 $C$ 为直角，因此$$\tan\angle BAC=2\tan\angle MAC,$$即$$\tan\angle BAC=2\tan\left(\angle BAC-\angle BAM\right).$$由 $\sin\angle BAM=\dfrac 13$，得$$\tan\angle BAM=\dfrac{\sqrt 2}4,$$代入上式中，得$$\tan\angle BAC =2\cdot\dfrac{\tan\angle BAC-\frac{\sqrt 2}4}{1+\tan\angle BAC\cdot\frac{\sqrt 2}4},$$解得$$\tan \angle BAC=\sqrt 2,$$即 $\sin\angle BAC=\dfrac{\sqrt 6}3$．
答案
解析
备注
