题目 将一枚均匀的硬币连续抛掷 $n$ 次，以 ${p_n}$ 表示未出现连续 $3$ 次正面的概率． 问题1 求 $p_1,p_2,p_3,p_4$； 答案1 $p_1=p_2=1,p_3=\dfrac78,p_4=\dfrac{13}{16}$ 解析1 略 备注1 问题2 探究数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 的递推公式，并给出证明； 答案2 ${p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}}$ 解析2 <case>情形一</case> 若第 $n$ 次是反面，满足条件的概率为 $\dfrac 12p_{n-1}$．<br/><case>情形二</case> 若第 $n$ 次是正面，且第 $n-1$ 次是反面，则满足条件的概率为$$\dfrac 12\cdot \dfrac 12\cdot p_{n-2}=\dfrac 14p_{n-2}.$$<case>情形三</case> 若第 $n$ 次是正面，且第 $n-1$ 次是正面，则满足条件的概率为$$\dfrac 12\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac 12\cdot p_{n-3}=\dfrac 18p_{n-3}.$$因此$${p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}}.$$ 备注2 问题3 讨论数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义． 答案3 第 $2$ 项起递减，极限为 $ 0$．概率意义为小概率事件经过无数次试验后是必然发生的 解析3 因为$$\begin{split}p_{n+1}&= \dfrac{1}{2}{p_n} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 2}},\\{p_n} &= \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}},\end{split}$$于是有$${p_{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{p_n} = \dfrac{1}{2}{p_n} - \dfrac{1}{{16}}{p_{n - 3}},$$即$${p_{n + 1}} - {p_n} = - \dfrac{1}{{16}}{p_{n - 3}} < 0,$$因此数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 满足 ${p_1} = {p_2}$，从第 $2$ 项起递减．<br/>因为数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 单调递减且有下界，因此必然存在极限，设为 $P$．<br/>对$${p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}}$$两边取极限，有$$P = \dfrac{1}{2}P + \dfrac{1}{4}P + \dfrac{1}{8}P,$$解得 $P = 0$，其意义是小概率事件经过无数次试验后是必然不会发生的． 备注3