题目 设函数 $f(x)=x\sin x,x\in \mathbb R$． 问题1 证明 $f(x+2k\pi)-f(x)=2k\pi \sin x$，其中 $k$ 为整数； 答案1 略 解析1 根据题意，有$$f(x+2k\pi)-f(x)=(x+2k\pi)\sin x-x\sin x=2k\pi \sin x.$$ 备注1 问题2 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极值点，证明 $[f(x_0)]^2=\dfrac{x_0^4}{1+x_0^2}$； 答案2 略 解析2 根据题意，$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\sin x+x\cos x,$$于是由$$\sin x_0+x_0\cos x_0=0,$$可得$$\sin^2x_0=\dfrac{x_0^2}{1+x_0^2},$$进而有$$\left[f(x_0)\right]^2=x_0^2\sin^2x_0=\dfrac{x_0^4}{1+x_0^2}.$$ 备注2 问题3 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots $，证明：$\dfrac{\pi}{2}<a_{n+1}-a_n<\pi$，$n=1,2,3,\cdots $． 答案3 略 解析3 易知 $a_1,a_2,\cdots ,a_k,\cdots $ 为方程$$\sin x+x\cos x=0,$$即$$\tan x+x=0$$的实数解，于是$$a_k\in\left(-\dfrac{\pi}2+k\pi,k\pi\right),$$其中 $k=1,2,\cdots ,$ 如图．<img src="/static/images/805ab251d727bc843cdd957066395490.png" class="img-responsive" />显然有$$a_{n+1}-a_n>\left[-\dfrac{\pi}2+(n+1)\pi \right]-n\pi=\dfrac{\pi}2.$$又 $a_n+\pi,a_{n+1}$ 位于函数 $y=\tan x+x$ 的单调递增区间 $\left(-\dfrac{\pi}2+(n+1)\pi,(n+1)\pi\right)$，而$$\left(\tan a_{n+1}+a_{n+1}\right)-\left[\tan\left(a_n+\pi\right) +a_n+\pi\right]=\left(\tan a_{n+1}+a_{n+1}\right)-\left[\tan a_n +a_n\right]-\pi<0,$$于是$$a_{n+1}<a_n+\pi.$$综上所述，原命题得证． 备注3 事实上，函数 $\varphi(x)=\tan x+x$ 满足$$\varphi(x+\pi)=\varphi(x) +\pi,$$因此其函数图象可以看成是$$y=\tan x+x,x\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$$的图象沿向量 $\left(\pi,\pi\right)$ 的方向不停的平移得到的，如图．<img src="/static/images/01ccb50d8b3226ded953f7f804f6aad4.png" class="img-responsive" />