若对平面上的某一格点 $P$，连接原点 $O$ 与该点的线段 $OP$ 上没有其他格点，称格点 $P$ 是自原点可见的．求证：平面上任意一点 $P$ 自原点可见的概率大于 $0.5$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑第一象限内的格点 $P\left( {a , b} \right)$，其自原点可见即 $a$ 与 $b$ 互质，也即$$\left( {a , b} \right) = 1.$$设任取两个正整数 $a , b$，其最大公约数为 $x$ 的概率为 $p\left( x \right)$，且$$x\mid a,x\mid b,\left(\dfrac ax,\dfrac bx\right)=1$$的概率分别为 $p_a,p_b,p_0$，则$$p\left( x \right) = p_1\cdot p_b\cdot p_0= \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{x} \cdot p\left( 1 \right),$$于是$$\displaystyle \sum\limits_{x = 1}^{ + \infty } {\dfrac{{p\left( 1 \right)}}{{{x^2}}}} = 1,$$即$$\begin{split}p\left( 1 \right)&= \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{16}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \cdots }} \\&> \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{{1 \cdot 2}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} + \cdots + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)x}} + \cdots }} \\&> \dfrac{1}{2}.\end{split}$$
答案
解析
备注
