已知对任意实数 $x$ 均有 $a\cos x+b\cos 2x\geqslant -1$ 恒成立，求 $a+b$ 的最大值和最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2,-1$
【解析】
令 $\cos x=\cos 2x$，得$$\cos x=1\lor \cos x=-\dfrac 12,$$于是有$$-1\leqslant a+b\leqslant 2.$$当 $a=b=-\dfrac 12$ 时，显然满足$$a\cos x+b\cos 2x\geqslant -1,$$所以 $a+b$ 的最小值是 $-1$．
当 $a=\dfrac 43$，$b=\dfrac 23$ 时，$$\begin{split}a\cos x+b\cos 2x+1&=\dfrac 43\cos x+\dfrac 23(2\cos^2x-1)\\&=\dfrac 13(2\cos x+1)^2\\&\geqslant 0,\end{split}$$因此 $a+b$ 的最大值为 $2$．
当 $a=\dfrac 43$，$b=\dfrac 23$ 时，$$\begin{split}a\cos x+b\cos 2x+1&=\dfrac 43\cos x+\dfrac 23(2\cos^2x-1)\\&=\dfrac 13(2\cos x+1)^2\\&\geqslant 0,\end{split}$$因此 $a+b$ 的最大值为 $2$．
答案
解析
备注
