题目 将一枚均匀的硬币连续抛掷 $n$ 次，以 ${p_n}$ 表示未出现连续 $3$ 次正面的概率． 问题1 求 $p_1,p_2,p_3,p_4$； 答案1 $p_1=p_2=1,p_3=\dfrac78,p_4=\dfrac{13}{16}$ 解析1 由题可知 $p_1=p_2=1,p_3=\dfrac78,p_4=\dfrac{13}{16}$． 备注1 问题2 探究数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 的递推公式，并给出证明； 答案2 ${p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}}$ 解析2 根据第 $n$ 次，第 $n-1$ 次，第 $n-2$ 次的结果进行讨论：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{第}n\text{次}&\text{第}n-1\text{次}&\text{第}n-2\text{次}&\text{概率}&\text{对应}p_i\\ \hline \text{反面}&&&\dfrac12&p_{n-1} \\ \hline \text{正面}&\text{反面}&&\dfrac14&p_{n-2}\\ \hline \text{正面}&\text{正面}&\text{反面}&\dfrac18&p_{n-3}\\ \hline \text{正面}&\text{正面}&\text{正面}&\dfrac18&0\\ \hline\end{array}$$所以根据全概率公式，${p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}}$． 备注2 问题3 讨论数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义． 答案3 第 $2$ 项起递减，极限为 $ 0$．概率意义为小概率事件经过无数次试验后是必然发生的 解析3 因为\[\begin{split}&{p_{n + 1}} = \dfrac{1}{2}{p_n} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 2}}\qquad\cdots\cdots\text{ ① }\\&{p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}}\qquad\cdots\cdots\text{ ② }\end{split}\]$ \text{ ① }- \dfrac{1}{2} \times\text{ ② }$，得$${p_{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{p_n} = \dfrac{1}{2}{p_n} - \dfrac{1}{{16}}{p_{n - 3}},$$所以$${p_{n + 1}} - {p_n} = - \dfrac{1}{{16}}{p_{n - 3}} < 0,$$因此数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 满足 ${p_1} = {p_2}$，从第 $2$ 项起递减．<br/>又因为数列 $\left\{ {{p_n}} \right\}$ 单调递减且有下界，所以必然存在极限，设为 $P$，对$${p_n} = \dfrac{1}{2}{p_{n - 1}} + \dfrac{1}{4}{p_{n - 2}} + \dfrac{1}{8}{p_{n - 3}},$$两边取极限，有$$P = \dfrac{1}{2}P + \dfrac{1}{4}P + \dfrac{1}{8}P,$$得 $P = 0$．<br/>该极限的概率意义为当投掷次数足够多时，必然会出现连续三次正面向上的情形，或者说，小概率事件经过无数次试验后是必然发生的． 备注3